Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

381. Решите неравенство:

а) Решим неравенство $25x^2 + 6x \le 0$.
Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $25x^2 + 6x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(25x + 6) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 0$ и $25x + 6 = 0 \implies x_2 = -\frac{6}{25}$.
Графиком функции $y = 25x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($25 > 0$). Неравенство $25x^2 + 6x \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $[- \frac{6}{25}, 0]$.

Ответ: $x \in [- \frac{6}{25}, 0]$.

б) Решим неравенство $x^2 - 169 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 169 = 0$.
Это разность квадратов: $(x - 13)(x + 13) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 13$ и $x_2 = -13$.
Графиком функции $y = x^2 - 169$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($1 > 0$). Неравенство $x^2 - 169 > 0$ выполняется на промежутках вне корней.
Следовательно, решение неравенства: $x < -13$ или $x > 13$.

Ответ: $x \in (-\infty, -13) \cup (13, \infty)$.

в) Решим неравенство $4x^2 - 225 \le 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - 225 = 0$.
Это разность квадратов: $(2x)^2 - 15^2 = 0 \implies (2x - 15)(2x + 15) = 0$.
Корни уравнения: $2x - 15 = 0 \implies x_1 = \frac{15}{2}$ и $2x + 15 = 0 \implies x_2 = -\frac{15}{2}$.
Графиком функции $y = 4x^2 - 225$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($4 > 0$). Неравенство $4x^2 - 225 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-\frac{15}{2} \le x \le \frac{15}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{15}{2}, \frac{15}{2}]$.

г) Решим неравенство $y^2 < 10y + 24$.
Перенесем все члены в левую часть: $y^2 - 10y - 24 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 10y - 24 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$.
Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2}$.
$y_1 = \frac{10 + 14}{2} = 12$, $y_2 = \frac{10 - 14}{2} = -2$.
Графиком функции $f(y) = y^2 - 10y - 24$ является парабола с ветвями вверх ($1 > 0$). Неравенство $y^2 - 10y - 24 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-2 < y < 12$.

Ответ: $y \in (-2, 12)$.

д) Решим неравенство $15y^2 + 30 > 22y + 7$.
Перенесем все члены в левую часть: $15y^2 - 22y + 30 - 7 > 0 \implies 15y^2 - 22y + 23 > 0$.
Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $15y^2 - 22y + 23 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 23 = 484 - 1380 = -896$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Коэффициент при $y^2$ равен $15$, что больше нуля, значит, парабола $f(y) = 15y^2 - 22y + 23$ направлена ветвями вверх и не пересекает ось абсцисс. Это означает, что значение функции положительно при любом значении $y$.
Следовательно, неравенство $15y^2 - 22y + 23 > 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty, \infty)$ или $y \in \mathbb{R}$.

е) Решим неравенство $3y^2 - 7 \le 26y + 70$.
Перенесем все члены в левую часть: $3y^2 - 26y - 7 - 70 \le 0 \implies 3y^2 - 26y - 77 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $3y^2 - 26y - 77 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-77) = 676 + 924 = 1600$.
Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{26 \pm 40}{6}$.
$y_1 = \frac{26 + 40}{6} = \frac{66}{6} = 11$, $y_2 = \frac{26 - 40}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.
Графиком функции $f(y) = 3y^2 - 26y - 77$ является парабола с ветвями вверх ($3 > 0$). Неравенство $3y^2 - 26y - 77 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-\frac{7}{3} \le y \le 11$.

Ответ: $y \in [-\frac{7}{3}, 11]$.

382. Решите систему уравнений способом подстановки:

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 11x - 9y = 37, \\ x = 1 + 2y. \end{cases} $

Во втором уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$11(1 + 2y) - 9y = 37$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$11 + 22y - 9y = 37$

$13y = 37 - 11$

$13y = 26$

$y = \frac{26}{13}$

$y = 2$

Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y=2$ во второе уравнение системы:

$x = 1 + 2y = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$

Решением системы является пара чисел $(5; 2)$.

Ответ: $(5; 2)$

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 16x - 4y = 5, \\ 3x - y = 2. \end{cases} $

Сначала выразим одну переменную через другую. Удобнее всего выразить $y$ из второго уравнения:

$3x - y = 2 \implies y = 3x - 2$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$16x - 4(3x - 2) = 5$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$16x - 12x + 8 = 5$

$4x = 5 - 8$

$4x = -3$

$x = -\frac{3}{4}$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x = -\frac{3}{4}$ в выражение $y = 3x - 2$:

$y = 3 \cdot (-\frac{3}{4}) - 2 = -\frac{9}{4} - 2 = -\frac{9}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{17}{4}$

Решением системы является пара чисел $(-\frac{3}{4}; -\frac{17}{4})$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; -\frac{17}{4})$

383. Решите систему уравнений способом сложения:

а) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 2y = 30, \\ 3x + 4y = -3. \end{cases} $$

Для решения системы методом сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на $-2$, чтобы коэффициент при переменной $y$ стал $-4$.

$$ -2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 30 $$

$$ -10x - 4y = -60 $$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} -10x - 4y = -60, \\ 3x + 4y = -3. \end{cases} $$

Сложим левые и правые части уравнений:

$$ (-10x - 4y) + (3x + 4y) = -60 + (-3) $$

$$ -7x = -63 $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \frac{-63}{-7} $$

$$ x = 9 $$

Подставим найденное значение $x=9$ в первое исходное уравнение $5x + 2y = 30$, чтобы найти $y$:

$$ 5 \cdot 9 + 2y = 30 $$

$$ 45 + 2y = 30 $$

$$ 2y = 30 - 45 $$

$$ 2y = -15 $$

$$ y = -\frac{15}{2} = -7.5 $$

Решением системы является пара чисел $(9; -7.5)$.
Ответ: $(9; -7.5)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 85, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Чтобы использовать метод сложения, умножим обе части первого уравнения на $-2$. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при переменной $y$ ($-1 \cdot -2 = 2$).

$$ -2 \cdot (2x - y) = -2 \cdot 85 $$

$$ -4x + 2y = -170 $$

Новая система уравнений:

$$ \begin{cases} -4x + 2y = -170, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Теперь сложим уравнения почленно:

$$ (-4x + 2y) + (5x - 2y) = -170 + 200 $$

$$ x = 30 $$

Мы нашли значение $x$. Теперь подставим его в первое исходное уравнение $2x - y = 85$, чтобы найти $y$:

$$ 2 \cdot 30 - y = 85 $$

$$ 60 - y = 85 $$

$$ -y = 85 - 60 $$

$$ -y = 25 $$

$$ y = -25 $$

Решением системы является пара чисел $(30; -25)$.
Ответ: $(30; -25)$.