Страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

370. Что является графиком уравнения $\frac{{(2x+y)}^2}{4}$ – (x – 0,5y)² = 24?

Выберите верный ответ.

1. Окружность

2. Гипербола

3. Парабола

4. Пара прямых

Для того чтобы определить, какой график соответствует данному уравнению, необходимо его упростить. Исходное уравнение:

$\frac{(2x + y)^2}{4} - (x - 0,5y)^2 = 24$

Сначала преобразуем второй член уравнения. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2}$. Тогда выражение в скобках можно записать как:

$x - 0,5y = x - \frac{1}{2}y = \frac{2x - y}{2}$

Возведем это выражение в квадрат:

$(x - 0,5y)^2 = (\frac{2x - y}{2})^2 = \frac{(2x - y)^2}{4}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$\frac{(2x + y)^2}{4} - \frac{(2x - y)^2}{4} = 24$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$(2x + y)^2 - (2x - y)^2 = 96$

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x + y$ и $b = 2x - y$.

Находим $a-b$ и $a+b$:

$a - b = (2x + y) - (2x - y) = 2x + y - 2x + y = 2y$

$a + b = (2x + y) + (2x - y) = 2x + y + 2x - y = 4x$

Подставляем эти выражения в преобразованное уравнение:

$(2y)(4x) = 96$

Упрощаем полученное выражение:

$8xy = 96$

Разделим обе части на 8:

$xy = 12$

Уравнение вида $xy = k$ (где $k \neq 0$) является уравнением гиперболы. В данном случае это равнобочная гипербола, асимптотами которой служат оси координат Ox и Oy.

Ответ: 2. Гипербола

371. При каких значениях m графиком уравнения

(x – 4)² + (y + m)² = 15

является окружность, центр которой расположен в четвёртой координатной четверти?

Уравнение окружности в общем виде записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.

Рассмотрим данное в задаче уравнение: $(x - 4)^2 + (y + m)^2 = 15$. Сравним его с общим видом. Для этого представим член $(y+m)^2$ в виде $(y - (-m))^2$. Теперь уравнение выглядит так: $(x - 4)^2 + (y - (-m))^2 = 15$.

Отсюда мы можем определить координаты центра окружности: $x_0 = 4$ и $y_0 = -m$. Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $C(4, -m)$.

По условию задачи, центр окружности должен располагаться в четвёртой координатной четверти. Точка принадлежит четвёртой четверти, если её абсцисса (координата x) положительна, а ордината (координата y) отрицательна.

Следовательно, для центра $C(4, -m)$ должны выполняться следующие условия:
1. $x_0 > 0$
2. $y_0 < 0$

Подставим координаты центра в эти неравенства:
1. $4 > 0$. Это неравенство является верным и не зависит от значения $m$.
2. $-m < 0$. Чтобы найти $m$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $m > 0$.

Таким образом, для того чтобы центр окружности находился в четвёртой координатной четверти, значение $m$ должно быть больше нуля.

Ответ: $m > 0$.

372. При каких значениях r окружность (x – 5)² + (y – 7)² = r²:

а) касается оси x;

б) касается оси y?

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

В задаче дано уравнение окружности $(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = r^2$.

Сравнивая это уравнение с общим видом, находим, что центр окружности находится в точке $C(5, 7)$, а ее радиус $R = |r|$. Так как радиус является геометрической величиной, он должен быть положительным, поэтому будем считать, что $R = r$ при условии $r > 0$.

а) касается оси x

Окружность касается оси $x$ (оси абсцисс), если расстояние от ее центра до оси $x$ равно ее радиусу. Ось $x$ задается уравнением $y = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до оси $x$ равно $|y_0|$. Для нашего центра $C(5, 7)$ это расстояние равно $|7| = 7$.

Условие касания: радиус $R$ должен быть равен этому расстоянию.

$R = 7$.

Поскольку $R = r$, получаем, что $r = 7$.

Ответ: $r = 7$.

б) касается оси y

Окружность касается оси $y$ (оси ординат), если расстояние от ее центра до оси $y$ равно ее радиусу. Ось $y$ задается уравнением $x = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до оси $y$ равно $|x_0|$. Для нашего центра $C(5, 7)$ это расстояние равно $|5| = 5$.

Условие касания: радиус $R$ должен быть равен этому расстоянию.

$R = 5$.

Поскольку $R = r$, получаем, что $r = 5$.

Ответ: $r = 5$.

373. Составьте уравнение окружности с центром в точке (3; 8), зная, что она касается:

а) оси x;

б) оси y.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.
По условию задачи, центр окружности находится в точке $(3; 8)$, следовательно, $x_0 = 3$ и $y_0 = 8$. Уравнение окружности принимает вид: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = r^2$.
Для полного определения уравнения необходимо найти радиус $r$ для каждого из случаев.

а) Окружность касается оси $x$.
Если окружность касается оси $x$, то её радиус равен расстоянию от центра окружности до оси $x$. Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до оси $x$ (линия $y=0$) равно модулю её ординаты $|y_0|$.
В нашем случае центр находится в точке $(3; 8)$, поэтому радиус равен:
$r = |8| = 8$.
Теперь подставим значение радиуса в уравнение окружности:
$(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 8^2$
$(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 64$.
Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 64$.

б) Окружность касается оси $y$.
Если окружность касается оси $y$, то её радиус равен расстоянию от центра окружности до оси $y$. Расстояние от точки $(x_0; y_0)$ до оси $y$ (линия $x=0$) равно модулю её абсциссы $|x_0|$.
Для центра $(3; 8)$ радиус будет равен:
$r = |3| = 3$.
Подставим это значение радиуса в уравнение:
$(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 3^2$
$(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 9$.
Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 9$.

374. Постройте графики уравнений:

Все представленные уравнения являются уравнениями окружности в декартовой системе координат. Общий вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Чтобы построить график, нужно определить центр и радиус для каждого случая.

Дано уравнение $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.
Сравнивая его с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, мы можем определить параметры окружности:

• Координаты центра $(a, b)$ равны $(1, 2)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Таким образом, график этого уравнения — это окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 4. Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить центр $(1, 2)$, и из этой точки провести окружность с радиусом 4 единичных отрезка.

Ответ: окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $R = 4$.

Дано уравнение $(x + 2)^2 + y^2 = 4$.
Перепишем его в стандартном виде: $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 2^2$.
Сравнивая с общей формулой, находим:

• Координаты центра $(a, b)$ равны $(-2, 0)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

График этого уравнения — это окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 2. Для построения нужно отметить на оси $Ox$ точку $(-2, 0)$ и провести окружность с радиусом 2.

Ответ: окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $R = 2$.

Дано уравнение $x^2 + (y - 3)^2 = 25$.
Перепишем его в стандартном виде: $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$.
Сравнивая с общей формулой, находим:

• Координаты центра $(a, b)$ равны $(0, 3)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

График этого уравнения — это окружность с центром в точке $(0, 3)$ и радиусом 5. Для построения нужно отметить на оси $Oy$ точку $(0, 3)$ и провести окружность с радиусом 5.

Ответ: окружность с центром в точке $(0, 3)$ и радиусом $R = 5$.

Дано уравнение $(x + 5)^2 + (y + 7)^2 = 49$.
Перепишем его в стандартном виде: $(x - (-5))^2 + (y - (-7))^2 = 7^2$.
Сравнивая с общей формулой, находим:

• Координаты центра $(a, b)$ равны $(-5, -7)$.
• Квадрат радиуса $R^2 = 49$, следовательно, радиус $R = \sqrt{49} = 7$.

График этого уравнения — это окружность с центром в точке $(-5, -7)$ и радиусом 7. Для построения нужно на координатной плоскости отметить центр $(-5, -7)$ и из этой точки провести окружность с радиусом 7.

Ответ: окружность с центром в точке $(-5, -7)$ и радиусом $R = 7$.

375. Проходит ли через точку А(0,1; –0,1) график уравнения:

а) x² + y² = 0,02;

б) x² – y² = 0?

а) Чтобы проверить, проходит ли график уравнения через точку, нужно подставить координаты этой точки в уравнение. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.
Для точки $A(0,1; -0,1)$ имеем $x=0,1$ и $y=-0,1$.
Подставим эти значения в уравнение $x^2 + y^2 = 0,02$:
$(0,1)^2 + (-0,1)^2 = 0,02$
$0,01 + 0,01 = 0,02$
$0,02 = 0,02$
Равенство верное, следовательно, график уравнения проходит через точку А.
Ответ: да, проходит.

б) Аналогично проверим для уравнения $x^2 - y^2 = 0$.
Подставим координаты точки $A(0,1; -0,1)$ в уравнение:
$(0,1)^2 - (-0,1)^2 = 0$
$0,01 - 0,01 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, график этого уравнения также проходит через точку А.
Ответ: да, проходит.

376. При каком значении а точка В(а; 1 – а) принадлежит графику уравнения:

а) x² – y² = 14;

б) x² + y² = 1?

Для того чтобы точка принадлежала графику уравнения, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Точка $B$ имеет координаты $x = a$ и $y = 1 - a$. Мы подставим эти значения в каждое уравнение и решим его относительно $a$.

а) Подставим координаты точки $B(a; 1 - a)$ в уравнение $x^2 - y^2 = 14$:
$a^2 - (1 - a)^2 = 14$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$:
$a^2 - (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot a + a^2) = 14$
$a^2 - (1 - 2a + a^2) = 14$
$a^2 - 1 + 2a - a^2 = 14$
Приведем подобные слагаемые ($a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются):
$2a - 1 = 14$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2a = 14 + 1$
$2a = 15$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a = \frac{15}{2} = 7.5$
Ответ: $a = 7.5$.

б) Подставим координаты точки $B(a; 1 - a)$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$:
$a^2 + (1 - a)^2 = 1$
Раскроем скобки, используя ту же формулу квадрата разности:
$a^2 + 1 - 2a + a^2 = 1$
Приведем подобные слагаемые:
$2a^2 - 2a + 1 = 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$2a^2 - 2a = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $2a$ за скобки:
$2a(a - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
1) $2a = 0 \implies a = 0$
2) $a - 1 = 0 \implies a = 1$
Ответ: $a = 0$ или $a = 1$.

377. Составьте уравнения окружностей, симметричных окружности (x – 2)² + (y + 3)² = 9 относительно оси абсцисс; относительно оси ординат; относительно начала координат.

Исходное уравнение окружности: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$.
Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.
Из данного уравнения находим, что центр исходной окружности находится в точке $C(2, -3)$, а её радиус $r = \sqrt{9} = 3$.
При симметричном отображении окружности её радиус не изменяется. Изменяется только положение центра. Поэтому для нахождения уравнений симметричных окружностей нам нужно найти новые координаты центра и использовать тот же радиус.

относительно оси абсцисс
При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(x, -y)$.
Следовательно, центр исходной окружности $C(2, -3)$ отобразится в новый центр $C_1(2, -(-3))$, то есть в точку $C_1(2, 3)$.
Радиус окружности остаётся равным 3.
Составляем уравнение новой окружности с центром в $C_1(2, 3)$ и радиусом $r = 3$:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$
Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

относительно оси ординат
При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(-x, y)$.
Следовательно, центр исходной окружности $C(2, -3)$ отобразится в новый центр $C_2(-2, -3)$.
Радиус окружности остаётся равным 3.
Составляем уравнение новой окружности с центром в $C_2(-2, -3)$ и радиусом $r = 3$:
$(x - (-2))^2 + (y - (-3))^2 = 3^2$
$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$
Ответ: $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$

относительно начала координат
При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(-x, -y)$.
Следовательно, центр исходной окружности $C(2, -3)$ отобразится в новый центр $C_3(-2, -(-3))$, то есть в точку $C_3(-2, 3)$.
Радиус окружности остаётся равным 3.
Составляем уравнение новой окружности с центром в $C_3(-2, 3)$ и радиусом $r = 3$:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 3^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$
Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

378. Дана окружность с центром в точке (5; 8) и радиусом, равным 4.

а) Составьте её уравнение.

б) Составьте уравнение окружностей, симметричных данной окружности относительно оси ординат; относительно оси абсцисс; относительно начала координат.

а) Составьте её уравнение.
Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.
По условию задачи, центр окружности $C$ находится в точке с координатами $(5; 8)$, а радиус $r$ равен 4.
Подставим эти значения в формулу:
$x_0 = 5$
$y_0 = 8$
$r = 4$
Получаем уравнение:
$(x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 4^2$
$(x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$
Ответ: $(x - 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$.

б) Составьте уравнение окружностей, симметричных данной окружности относительно оси ординат; относительно оси абсцисс; относительно начала координат.
При симметричном отображении окружности её радиус не изменяется, он остается равным 4. Изменяется только положение центра окружности. Исходный центр — точка $C(5; 8)$.

1. Симметрия относительно оси ординат (оси OY):
При симметрии относительно оси ординат точка с координатами $(x_0; y_0)$ отображается в точку с координатами $(-x_0; y_0)$. Следовательно, центр $C(5; 8)$ перейдет в новый центр $C_1(-5; 8)$.
Уравнение симметричной окружности имеет вид: $(x - (-5))^2 + (y - 8)^2 = 4^2$, что равносильно $(x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$.

2. Симметрия относительно оси абсцисс (оси OX):
При симметрии относительно оси абсцисс точка с координатами $(x_0; y_0)$ отображается в точку с координатами $(x_0; -y_0)$. Следовательно, центр $C(5; 8)$ перейдет в новый центр $C_2(5; -8)$.
Уравнение симметричной окружности имеет вид: $(x - 5)^2 + (y - (-8))^2 = 4^2$, что равносильно $(x - 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.

3. Симметрия относительно начала координат:
При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x_0; y_0)$ отображается в точку с координатами $(-x_0; -y_0)$. Следовательно, центр $C(5; 8)$ перейдет в новый центр $C_3(-5; -8)$.
Уравнение симметричной окружности имеет вид: $(x - (-5))^2 + (y - (-8))^2 = 4^2$, что равносильно $(x + 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.

Ответ:
Уравнение окружности, симметричной данной относительно оси ординат: $(x + 5)^2 + (y - 8)^2 = 16$.
Уравнение окружности, симметричной данной относительно оси абсцисс: $(x - 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.
Уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат: $(x + 5)^2 + (y + 8)^2 = 16$.

379. Составьте уравнение двух концентрических окружностей, радиусы которых равны 2 и 5 и общий центр которых находится:

а) в начале координат;

б) в точке (3; 0);

в) в точке (0; 4);

г) в точке (–1; 2).

Для решения этой задачи воспользуемся общим уравнением окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

По условию, у нас есть две концентрические окружности, что означает, что у них общий центр $(h; k)$. Радиусы окружностей равны $r_1 = 2$ и $r_2 = 5$. Нам нужно составить уравнения для каждой из четырех заданных точек центра.

а) Общий центр находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$.

Подставляем координаты центра $(h=0, k=0)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$x^2 + y^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$x^2 + y^2 = 25$

Ответ: $x^2 + y^2 = 4$ и $x^2 + y^2 = 25$.

б) Общий центр находится в точке $(3; 0)$.

Подставляем координаты центра $(h=3, k=0)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$(x - 3)^2 + y^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$(x - 3)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 25$.

в) Общий центр находится в точке $(0; 4)$.

Подставляем координаты центра $(h=0, k=4)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 2^2$

$x^2 + (y - 4)^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 5^2$

$x^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ответ: $x^2 + (y - 4)^2 = 4$ и $x^2 + (y - 4)^2 = 25$.

г) Общий центр находится в точке $(-1; 2)$.

Подставляем координаты центра $(h=-1, k=2)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 5^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ и $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

380. Две концентрические окружности, заданные уравнениями x² + y² = 9 и x² + y² = 16, делят плоскость на три области: кольцо, ограниченное окружностями, часть плоскости, ограниченную малой окружностью, и часть плоскости, находящуюся за пределами круга, ограниченного большой окружностью. В какой из трёх областей расположены точки: M(5; 5), N(1; –2), P(3,6; 0), Q(4,001; –0,5)? Сделайте схематический рисунок.

Данные уравнения $x^2 + y^2 = 9$ и $x^2 + y^2 = 16$ описывают две концентрические окружности с центром в начале координат (0, 0).

Малая окружность имеет уравнение $x^2 + y^2 = 9$, следовательно, ее радиус $R_1 = \sqrt{9} = 3$.

Большая окружность имеет уравнение $x^2 + y^2 = 16$, следовательно, ее радиус $R_2 = \sqrt{16} = 4$.

Эти окружности делят плоскость на три области:

1. Часть плоскости, ограниченная малой окружностью (внутренность малого круга). Для точек $(x; y)$ в этой области выполняется неравенство $x^2 + y^2 < 9$.
2. Кольцо, ограниченное окружностями. Для точек $(x; y)$ в этой области выполняется двойное неравенство $9 < x^2 + y^2 < 16$.
3. Часть плоскости за пределами большого круга. Для точек $(x; y)$ в этой области выполняется неравенство $x^2 + y^2 > 16$.

Чтобы определить, в какой из областей находится каждая точка, нужно подставить ее координаты в выражение $x^2 + y^2$ и сравнить результат с числами 9 и 16.

Точка M(5; 5)

Подставляем координаты точки M в выражение $x^2 + y^2$:
$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
Сравниваем результат с 9 и 16: $50 > 16$.
Следовательно, точка M находится за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Ответ: Точка M(5; 5) расположена за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Точка N(1; –2)

Подставляем координаты точки N в выражение $x^2 + y^2$:
$1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.
Сравниваем результат с 9: $5 < 9$.
Следовательно, точка N находится в части плоскости, ограниченной малой окружностью.

Ответ: Точка N(1; –2) расположена в части плоскости, ограниченной малой окружностью.

Точка P(3,6; 0)

Подставляем координаты точки P в выражение $x^2 + y^2$:
$(3,6)^2 + 0^2 = 12,96$.
Сравниваем результат с 9 и 16: $9 < 12,96 < 16$.
Следовательно, точка P находится в кольце, ограниченном окружностями.

Ответ: Точка P(3,6; 0) расположена в кольце, ограниченном окружностями.

Точка Q(4,001; –0,5)

Подставляем координаты точки Q в выражение $x^2 + y^2$:
$(4,001)^2 + (-0,5)^2 = 16,008001 + 0,25 = 16,258001$.
Сравниваем результат с 16: $16,258001 > 16$.
Следовательно, точка Q находится за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Ответ: Точка Q(4,001; –0,5) расположена за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Схематический рисунок

На рисунке изображены две концентрические окружности с центром в начале координат и радиусами 3 и 4. Также отмечены точки M, N, P и Q.