Номер 376, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Уравнение с двумя переменными и его график. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 376, страница 116.

Условие.

376. При каком значении а точка В(а; 1 – а) принадлежит графику уравнения:

а) x² – y² = 14;

б) x² + y² = 1?

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы точка принадлежала графику уравнения, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Точка $B$ имеет координаты $x = a$ и $y = 1 - a$. Мы подставим эти значения в каждое уравнение и решим его относительно $a$.

а) Подставим координаты точки $B(a; 1 - a)$ в уравнение $x^2 - y^2 = 14$:
$a^2 - (1 - a)^2 = 14$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$:
$a^2 - (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot a + a^2) = 14$
$a^2 - (1 - 2a + a^2) = 14$
$a^2 - 1 + 2a - a^2 = 14$
Приведем подобные слагаемые ($a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются):
$2a - 1 = 14$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2a = 14 + 1$
$2a = 15$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a = \frac{15}{2} = 7.5$
Ответ: $a = 7.5$.

б) Подставим координаты точки $B(a; 1 - a)$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$:
$a^2 + (1 - a)^2 = 1$
Раскроем скобки, используя ту же формулу квадрата разности:
$a^2 + 1 - 2a + a^2 = 1$
Приведем подобные слагаемые:
$2a^2 - 2a + 1 = 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$2a^2 - 2a = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $2a$ за скобки:
$2a(a - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
1) $2a = 0 \implies a = 0$
2) $a - 1 = 0 \implies a = 1$
Ответ: $a = 0$ или $a = 1$.