Номер 369, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 19. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 369, страница 115.

Условие.

369. Докажите, что графиком уравнения x² + y² – 6(x – y) = 7 является окружность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что графиком данного уравнения является окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Исходное уравнение:
$x^2 + y^2 - 6(x - y) = 7$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$x^2 + y^2 - 6x + 6y = 7$

Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$ соответственно:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 6y) = 7$

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого воспользуемся формулами $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Для группы с $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2 = 9$.
Для группы с $y$: $y^2 + 6y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2 = 9$.

Добавим эти значения ($9$ и $9$) к обеим частям уравнения, чтобы сохранить равенство:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = 7 + 9 + 9$

Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты и вычислим значение в правой части:
$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Полученное уравнение является каноническим уравнением окружности. Сравнивая его с общим видом $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, мы видим, что это уравнение окружности с центром в точке $(a, b) = (3, -3)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Поскольку исходное уравнение удалось преобразовать к каноническому виду уравнения окружности с действительным положительным радиусом, то его графиком является окружность.

Ответ: Исходное уравнение $x^2 + y^2 - 6(x - y) = 7$ приводится к виду $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$, что является каноническим уравнением окружности с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $R=5$. Следовательно, графиком уравнения является окружность.