Номер 367, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

367. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, зная, что она проходит через точку:

а) A(–2; 5);

б) B(3; 4);

в) C(8; 0).

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $O(0; 0)$. Следовательно, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Уравнение окружности упрощается до вида: $x^2 + y^2 = R^2$.

Радиус окружности $R$ равен расстоянию от ее центра до любой точки на окружности. Чтобы найти конкретное уравнение для каждого случая, нам нужно вычислить квадрат радиуса $R^2$. Мы можем сделать это, подставив координаты точки, через которую проходит окружность, в левую часть уравнения.

а) Дано, что окружность проходит через точку $A(-2; \sqrt{5})$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив координаты точки $A$ в выражение $x^2 + y^2$:

$R^2 = (-2)^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.

Следовательно, уравнение данной окружности: $x^2 + y^2 = 9$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 9$.

б) Дано, что окружность проходит через точку $B(3; 4)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив координаты точки $B$:

$R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Следовательно, уравнение данной окружности: $x^2 + y^2 = 25$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 25$.

в) Дано, что окружность проходит через точку $C(8; 0)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив координаты точки $C$:

$R^2 = 8^2 + 0^2 = 64 + 0 = 64$.

Следовательно, уравнение данной окружности: $x^2 + y^2 = 64$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 64$.