Номер 368, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

368. Напишите уравнение окружности, зная, что её центр находится в точке K(2; –5) и она проходит через точку:

а) А(–1; –1);

б) B(–3; 7);

в) C(1; –4).

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в точке $K(2; -5)$. Это означает, что $x_0 = 2$ и $y_0 = -5$. Таким образом, уравнение окружности для всех трех случаев будет иметь вид: $(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = R^2$, что можно упростить до $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = R^2$.

Для того чтобы найти полное уравнение окружности, нам необходимо определить ее радиус $R$. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на ней. Мы можем найти квадрат радиуса ($R^2$), вычислив квадрат расстояния между центром $K$ и заданной точкой.

а) Окружность проходит через точку $A(-1; -1)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $A(-1; -1)$:
$R^2 = (-1 - 2)^2 + (-1 - (-5))^2 = (-3)^2 + (-1 + 5)^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Подставим найденное значение $R^2 = 25$ в уравнение окружности.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$.

б) Окружность проходит через точку $B(-3; 7)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $B(-3; 7)$:
$R^2 = (-3 - 2)^2 + (7 - (-5))^2 = (-5)^2 + (7 + 5)^2 = 25 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

Подставим найденное значение $R^2 = 169$ в уравнение окружности.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169$.

в) Окружность проходит через точку $C(1; -4)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$ как квадрат расстояния между точками $K(2; -5)$ и $C(1; -4)$:
$R^2 = (1 - 2)^2 + (-4 - (-5))^2 = (-1)^2 + (-4 + 5)^2 = 1 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Подставим найденное значение $R^2 = 2$ в уравнение окружности.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2$.