Номер 370, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Уравнение с двумя переменными и его график. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 370, страница 116.

Условие.

370. Что является графиком уравнения $\frac{{(2x+y)}^2}{4}$ – (x – 0,5y)² = 24?

Выберите верный ответ.

1. Окружность

2. Гипербола

3. Парабола

4. Пара прямых

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы определить, какой график соответствует данному уравнению, необходимо его упростить. Исходное уравнение:

$\frac{(2x + y)^2}{4} - (x - 0,5y)^2 = 24$

Сначала преобразуем второй член уравнения. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2}$. Тогда выражение в скобках можно записать как:

$x - 0,5y = x - \frac{1}{2}y = \frac{2x - y}{2}$

Возведем это выражение в квадрат:

$(x - 0,5y)^2 = (\frac{2x - y}{2})^2 = \frac{(2x - y)^2}{4}$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$\frac{(2x + y)^2}{4} - \frac{(2x - y)^2}{4} = 24$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$(2x + y)^2 - (2x - y)^2 = 96$

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2x + y$ и $b = 2x - y$.

Находим $a-b$ и $a+b$:

$a - b = (2x + y) - (2x - y) = 2x + y - 2x + y = 2y$

$a + b = (2x + y) + (2x - y) = 2x + y + 2x - y = 4x$

Подставляем эти выражения в преобразованное уравнение:

$(2y)(4x) = 96$

Упрощаем полученное выражение:

$8xy = 96$

Разделим обе части на 8:

$xy = 12$

Уравнение вида $xy = k$ (где $k \neq 0$) является уравнением гиперболы. В данном случае это равнобочная гипербола, асимптотами которой служат оси координат Ox и Oy.

Ответ: 2. Гипербола