Номер 364, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

364. Постройте график уравнения:

а) Чтобы построить график уравнения $2y - 0.5x^2 = 0$, необходимо выразить переменную $y$ через $x$.
$2y = 0.5x^2$
$y = \frac{0.5}{2}x^2$
$y = 0.25x^2$ (или $y = \frac{1}{4}x^2$)
Это уравнение является уравнением квадратичной функции вида $y = ax^2$, графиком которой является парабола.
Ключевые характеристики параболы:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Коэффициент $a = 0.25 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии параболы — это ось ординат ($Oy$).

• при $x = 0$, $y = 0.25 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 2$, $y = 0.25 \cdot 2^2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• при $x = -2$, $y = 0.25 \cdot (-2)^2 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• при $x = 4$, $y = 0.25 \cdot 4^2 = 4$. Точка $(4, 4)$.
• при $x = -4$, $y = 0.25 \cdot (-4)^2 = 4$. Точка $(-4, 4)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения $2y - 0.5x^2 = 0$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

б) Чтобы построить график уравнения $x^2 - 3y = 6$, выразим $y$ через $x$.
$-3y = 6 - x^2$
$3y = x^2 - 6$
$y = \frac{1}{3}x^2 - 2$
Это уравнение квадратичной функции вида $y = ax^2 + c$, графиком которой является парабола.
Ключевые характеристики параболы:

• График получен смещением параболы $y = \frac{1}{3}x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.
• Коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии — ось $Oy$.

Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка $(3, 1)$.
• при $x = -3$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 - 2 = 1$. Точка $(-3, 1)$.
• при $x = \sqrt{6} \approx 2.45$, $y = 0$. Точка $(\sqrt{6}, 0)$.
• при $x = -\sqrt{6} \approx -2.45$, $y = 0$. Точка $(-\sqrt{6}, 0)$.

Соединяем точки плавной кривой для получения графика.
Ответ: Графиком уравнения $x^2 - 3y = 6$ является парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх.

в) Чтобы построить график уравнения $4x^2 = 8 - y$, выразим $y$ через $x$.
$y = 8 - 4x^2$
$y = -4x^2 + 8$
Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + c$.
Ключевые характеристики параболы:

• График получен из параболы $y = -4x^2$ смещением на 8 единиц вверх вдоль оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 8)$.
• Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Ось симметрии — ось $Oy$.

Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = -4 \cdot 0^2 + 8 = 8$. Точка $(0, 8)$.
• при $x = 1$, $y = -4 \cdot 1^2 + 8 = 4$. Точка $(1, 4)$.
• при $x = -1$, $y = -4 \cdot (-1)^2 + 8 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• при $x = 2$, $y = -4 \cdot 2^2 + 8 = -8$. Точка $(2, -8)$.
• при $x = -2$, $y = -4 \cdot (-2)^2 + 8 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Отметив эти точки и соединив их, получим график параболы.
Ответ: Графиком уравнения $4x^2 = 8 - y$ является парабола с вершиной в точке $(0, 8)$ и ветвями, направленными вниз.

г) Чтобы построить график уравнения $-5x^2 + 2y = 3$, выразим $y$ через $x$.
$2y = 5x^2 + 3$
$y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{3}{2}$
$y = 2.5x^2 + 1.5$
Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + c$.
Ключевые характеристики параболы:

• График получен смещением параболы $y = 2.5x^2$ на 1.5 единицы вверх вдоль оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 1.5)$.
• Коэффициент $a = 2.5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Ось симметрии — ось $Oy$.

• при $x = 0$, $y = 2.5 \cdot 0^2 + 1.5 = 1.5$. Точка $(0, 1.5)$.
• при $x = 1$, $y = 2.5 \cdot 1^2 + 1.5 = 4$. Точка $(1, 4)$.
• при $x = -1$, $y = 2.5 \cdot (-1)^2 + 1.5 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• при $x = 2$, $y = 2.5 \cdot 2^2 + 1.5 = 11.5$. Точка $(2, 11.5)$.

Соединяем точки плавной кривой для построения графика.
Ответ: Графиком уравнения $-5x^2 + 2y = 3$ является парабола с вершиной в точке $(0, 1.5)$ и ветвями, направленными вверх.