Номер 357, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 357, страница 109.

Условие.

357. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы решить неравенство $\frac{6x + 2}{x + 4} < 5$, перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю.
$\frac{6x + 2}{x + 4} - 5 < 0$
$\frac{6x + 2 - 5(x + 4)}{x + 4} < 0$
$\frac{6x + 2 - 5x - 20}{x + 4} < 0$
$\frac{x - 18}{x + 4} < 0$
Далее решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $x - 18 = 0 \Rightarrow x = 18$.
Нуль знаменателя: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.
Отметим эти точки (-4 и 18) на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 18)$ и $(18, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{x - 18}{x + 4}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -4)$, возьмем $x = -5$: $\frac{-5 - 18}{-5 + 4} = \frac{-23}{-1} = 23 > 0$.
- В интервале $(-4, 18)$, возьмем $x = 0$: $\frac{0 - 18}{0 + 4} = -\frac{18}{4} < 0$.
- В интервале $(18, \infty)$, возьмем $x = 20$: $\frac{20 - 18}{20 + 4} = \frac{2}{24} > 0$.
Поскольку нам нужно найти, где выражение меньше нуля, решением является интервал, где дробь отрицательна.
Ответ: $x \in (-4; 18)$.

б) Решим неравенство $\frac{5x + 8}{x} > 1$. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.
$\frac{5x + 8}{x} - 1 > 0$
$\frac{5x + 8 - x}{x} > 0$
$\frac{4x + 8}{x} > 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $4x + 8 = 0 \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.
Отметим точки -2 и 0 на числовой прямой. Они разбивают ее на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{4x + 8}{x}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -2)$, возьмем $x = -3$: $\frac{4(-3) + 8}{-3} = \frac{-4}{-3} > 0$.
- В интервале $(-2, 0)$, возьмем $x = -1$: $\frac{4(-1) + 8}{-1} = \frac{4}{-1} < 0$.
- В интервале $(0, \infty)$, возьмем $x = 1$: $\frac{4(1) + 8}{1} = 12 > 0$.
Нам нужно найти, где выражение больше нуля. Это происходит в двух интервалах.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{3 - 2x}{3x + 2} \le 1$. Перенесем 1 в левую часть.
$\frac{3 - 2x}{3x + 2} - 1 \le 0$
$\frac{3 - 2x - (3x + 2)}{3x + 2} \le 0$
$\frac{3 - 2x - 3x - 2}{3x + 2} \le 0$
$\frac{1 - 5x}{3x + 2} \le 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $1 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
Нуль знаменателя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$.
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x = \frac{1}{5}$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка $x = -\frac{2}{3}$ выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}]$ и $[\frac{1}{5}, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{1 - 5x}{3x + 2}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -\frac{2}{3})$, возьмем $x = -1$: $\frac{1 - 5(-1)}{3(-1) + 2} = \frac{6}{-1} < 0$.
- В интервале $(-\frac{2}{3}, \frac{1}{5})$, возьмем $x = 0$: $\frac{1 - 0}{0 + 2} = \frac{1}{2} > 0$.
- В интервале $(\frac{1}{5}, \infty)$, возьмем $x = 1$: $\frac{1 - 5(1)}{3(1) + 2} = \frac{-4}{5} < 0$.
Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup [\frac{1}{5}; \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{5x - 4}{x + 8} \ge 15$. Перенесем 15 в левую часть.
$\frac{5x - 4}{x + 8} - 15 \ge 0$
$\frac{5x - 4 - 15(x + 8)}{x + 8} \ge 0$
$\frac{5x - 4 - 15x - 120}{x + 8} \ge 0$
$\frac{-10x - 124}{x + 8} \ge 0$
Чтобы упростить, умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный.
$\frac{10x + 124}{x + 8} \le 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $10x + 124 = 0 \Rightarrow 10x = -124 \Rightarrow x = -12.4$.
Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$.
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x = -12.4$ закрашенная, $x = -8$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty, -12.4]$, $[-12.4, -8)$ и $(-8, \infty)$.
Определим знак дроби $\frac{10x + 124}{x + 8}$ в каждом интервале.
- В интервале $(-\infty, -12.4)$, возьмем $x = -13$: $\frac{10(-13) + 124}{-13 + 8} = \frac{-6}{-5} > 0$.
- В интервале $(-12.4, -8)$, возьмем $x = -10$: $\frac{10(-10) + 124}{-10 + 8} = \frac{24}{-2} < 0$.
- В интервале $(-8, \infty)$, возьмем $x = 0$: $\frac{124}{8} > 0$.
Нам нужно найти, где выражение $\frac{10x + 124}{x + 8}$ меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-12.4; -8)$.