Номер 356, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 356, страница 109.

Условие.

356. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

a) Решим неравенство $\frac{x-8}{x+4} > 0$ методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$.
Нуль знаменателя: $x + 4 = 0 \implies x = -4$.
Отмечаем точки $-4$ и $8$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми.
Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 8)$ и $(8, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- при $x > 8$ (например, $x=10$), $\frac{10-8}{10+4} = \frac{2}{14} > 0$. Знак "+".
- при $-4 < x < 8$ (например, $x=0$), $\frac{0-8}{0+4} = -2 < 0$. Знак "-".
- при $x < -4$ (например, $x=-5$), $\frac{-5-8}{-5+4} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $ > 0$, выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (8, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x+16}{x-11} < 0$ методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 16 = 0 \implies x = -16$.
Нуль знаменателя: $x - 11 = 0 \implies x = 11$.
Отмечаем точки $-16$ и $11$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Интервалы: $(-\infty, -16)$, $(-16, 11)$, $(11, \infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- при $x > 11$ (например, $x=12$), $\frac{12+16}{12-11} = 28 > 0$. Знак "+".
- при $-16 < x < 11$ (например, $x=0$), $\frac{0+16}{0-11} = -\frac{16}{11} < 0$. Знак "-".
- при $x < -16$ (например, $x=-20$), $\frac{-20+16}{-20-11} = \frac{-4}{-31} > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $ < 0$, выбираем интервал со знаком "-".
Ответ: $x \in (-16, 11)$.

в) Решим неравенство $\frac{x+1}{3-x} \ge 0$.
Чтобы коэффициент при $x$ в знаменателе был положительным, умножим дробь на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{x+1}{-(x-3)} \ge 0 \implies \frac{x+1}{x-3} \le 0$.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=-1$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=3$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения $\frac{x+1}{x-3}$ на интервалах:
- при $x > 3$ (например, $x=4$), $\frac{4+1}{4-3} > 0$. Знак "+".
- при $-1 < x < 3$ (например, $x=0$), $\frac{0+1}{0-3} < 0$. Знак "-".
- при $x < -1$ (например, $x=-2$), $\frac{-2+1}{-2-3} > 0$. Знак "+".
Поскольку мы решаем неравенство $\le 0$, выбираем интервал со знаком "-". Точка $x=-1$ включается в решение.
Ответ: $x \in [-1, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{6-x}{x-4} \le 0$.
Умножим дробь на $-1$ и сменим знак неравенства, чтобы коэффициент при $x$ в числителе был положительным: $\frac{-(x-6)}{x-4} \le 0 \implies \frac{x-6}{x-4} \ge 0$.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$.
Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=6$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=4$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения $\frac{x-6}{x-4}$ на интервалах:
- при $x > 6$ (например, $x=7$), $\frac{7-6}{7-4} > 0$. Знак "+".
- при $4 < x < 6$ (например, $x=5$), $\frac{5-6}{5-4} < 0$. Знак "-".
- при $x < 4$ (например, $x=0$), $\frac{0-6}{0-4} > 0$. Знак "+".
Поскольку мы решаем неравенство $\ge 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Точка $x=6$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup [6, \infty)$.

д) Решим неравенство $\frac{2x-4}{3x+3} \le 0$.
Вынесем общие множители: $\frac{2(x-2)}{3(x+1)} \le 0$. Так как $\frac{2}{3} > 0$, можем сократить на этот множитель, не меняя знака неравенства: $\frac{x-2}{x+1} \le 0$.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=2$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=-1$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения $\frac{x-2}{x+1}$ на интервалах:
- при $x > 2$ (например, $x=3$), $\frac{3-2}{3+1} > 0$. Знак "+".
- при $-1 < x < 2$ (например, $x=0$), $\frac{0-2}{0+1} < 0$. Знак "-".
- при $x < -1$ (например, $x=-2$), $\frac{-2-2}{-2+1} > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $\le 0$, выбираем интервал со знаком "-". Точка $x=2$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-1, 2]$.

e) Решим неравенство $\frac{5x-1}{2x+3} \ge 0$ методом интервалов.
Находим нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}$.
Нуль знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$.
Отмечаем точки на числовой прямой. Точка $x=\frac{1}{5}$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=-\frac{3}{2}$ выколотая (нуль знаменателя).
Определим знак выражения на интервалах:
- при $x > \frac{1}{5}$ (например, $x=1$), $\frac{5(1)-1}{2(1)+3} = \frac{4}{5} > 0$. Знак "+".
- при $-\frac{3}{2} < x < \frac{1}{5}$ (например, $x=0$), $\frac{5(0)-1}{2(0)+3} = -\frac{1}{3} < 0$. Знак "-".
- при $x < -\frac{3}{2}$ (например, $x=-2$), $\frac{5(-2)-1}{2(-2)+3} = \frac{-11}{-1} = 11 > 0$. Знак "+".
Поскольку знак неравенства $\ge 0$, выбираем интервалы со знаком "+". Точка $x=\frac{1}{5}$ включается в решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup [\frac{1}{5}, \infty)$.