Номер 349, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 349, страница 108.

Условие.

349. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем корни: $x_1 = -1,2$; $x_2 = 6$; $x_3 = 4$.

Чтобы применить метод интервалов, приведем неравенство к стандартному виду, где коэффициент при $x$ в каждом множителе положителен. Заметим, что $(6 - x) = -(x - 6)$.

Неравенство принимает вид: $(x + 1,2)(-(x - 6))(x - 4) > 0$.

Вынесем минус за скобки: $-(x + 1,2)(x - 4)(x - 6) > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(x + 1,2)(x - 4)(x - 6) < 0$.

Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: -1,2; 4; 6. Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -1,2)$, $(-1,2; 4)$, $(4; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$, например, при $x = 10$: $(10 + 1,2)(10 - 4)(10 - 6) > 0$. Знак "плюс".

Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах чередуются: +, -, +, - (справа налево).

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; -1,2)$ и $(4; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2) \cup (4; 6)$.

б) $(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{7} - x) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения, приравняв каждый множитель к нулю: $x_1 = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{1}{2}$; $x_3 = \frac{1}{7}$.

Приведем неравенство к стандартному виду. Для этого в каждом множителе вынесем -1 за скобку:

$(-(x - \frac{1}{3}))(-(x - \frac{1}{2}))(-(x - \frac{1}{7})) < 0$

Произведение трех отрицательных множителей дает отрицательный результат:

$-(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$(x - \frac{1}{7})(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2}) > 0$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$ (так как $7 > 3 > 2$).

Определим знаки на интервалах. В крайнем правом интервале $(\frac{1}{2}; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Интервалы и знаки: $(\frac{1}{2}; +\infty) \rightarrow +$; $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2}) \rightarrow -$; $(\frac{1}{7}; \frac{1}{3}) \rightarrow +$; $(-\infty; \frac{1}{7}) \rightarrow -$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (\frac{1}{7}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) $(x + 0,6)(1,6 + x)(1,2 - x) > 0$

Используем метод интервалов. Находим корни: $x_1 = -0,6$; $x_2 = -1,6$; $x_3 = 1,2$.

Приведем неравенство к стандартному виду. Перепишем множители: $(x + 0,6)$, $(x + 1,6)$, $(1,2 - x) = -(x - 1,2)$.

Неравенство принимает вид: $(x + 1,6)(x + 0,6)(-(x - 1,2)) > 0$.

$-(x + 1,6)(x + 0,6)(x - 1,2) > 0$.

Умножим на -1, меняя знак неравенства:

$(x + 1,6)(x + 0,6)(x - 1,2) < 0$.

Отметим корни на оси: -1,6; -0,6; 1,2.

В крайнем правом интервале $(1,2; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: +, -, +, - (справа налево).

Нам нужны интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)$.

г) $(1,7 - x)(1,8 + x)(1,9 - x) < 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни: $x_1 = 1,7$; $x_2 = -1,8$; $x_3 = 1,9$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$(1,7 - x) = -(x - 1,7)$

$(1,8 + x) = (x + 1,8)$

$(1,9 - x) = -(x - 1,9)$

Подставляем в неравенство: $(-(x - 1,7))(x + 1,8)(-(x - 1,9)) < 0$.

Произведение двух отрицательных множителей дает положительный, поэтому неравенство эквивалентно:

$(x + 1,8)(x - 1,7)(x - 1,9) < 0$.

Отметим корни на оси: -1,8; 1,7; 1,9.

В крайнем правом интервале $(1,9; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: +, -, +, - (справа налево).

Нам нужны интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -1,8) \cup (1,7; 1,9)$.