Номер 343, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 343, страница 107.

Условие.

343. При каких значениях b уравнение (b – 1)x² + 6x + b – 3 = 0 не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значения параметра $b$, при которых уравнение $(b - 1)x^2 + 6x + b - 3 = 0$ не имеет корней, необходимо рассмотреть два случая, которые зависят от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является квадратным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $b - 1 \neq 0$, или $b \neq 1$.
Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).
В данном уравнении коэффициенты: $a = b - 1$, коэффициент при $x$ равен $6$, свободный член $c = b - 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = 6^2 - 4(b - 1)(b - 3)$
$D = 36 - 4(b^2 - 3b - b + 3)$
$D = 36 - 4(b^2 - 4b + 3)$
$D = 36 - 4b^2 + 16b - 12$
$D = -4b^2 + 16b + 24$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$-4b^2 + 16b + 24 < 0$
Разделим обе части неравенства на $-4$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$b^2 - 4b - 6 > 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 4b - 6 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:
$b_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$.
Корни уравнения: $b_1 = 2 - \sqrt{10}$ и $b_2 = 2 + \sqrt{10}$.
График функции $y = b^2 - 4b - 6$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $b^2 - 4b - 6 > 0$ выполняется для значений $b$, находящихся вне интервала между корнями: $b < 2 - \sqrt{10}$ или $b > 2 + \sqrt{10}$.

Случай 2: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b - 1 = 0$, откуда $b = 1$.
Подставим $b = 1$ в исходное уравнение:
$(1 - 1)x^2 + 6x + 1 - 3 = 0$
$0 \cdot x^2 + 6x - 2 = 0$
$6x - 2 = 0$
$6x = 2 \implies x = \frac{1}{3}$.
При $b = 1$ уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что исходное уравнение не имеет корней только при значениях $b$, найденных в первом случае.
Ответ: $b \in (-\infty; 2 - \sqrt{10}) \cup (2 + \sqrt{10}; \infty)$.