Номер 339, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 339, страница 107.

Условие.

339. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^2 - 5x - 50 < 0$

Для решения квадратичного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 50 = 0$. Для этого вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$. Корни уравнения равны: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 15}{2} = -5$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = 10$. Графиком функции $y = x^2 - 5x - 50$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -5$ и $x = 10$. Значения функции отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-5; 10)$.

б) $-m^2 - 8m + 9 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $m^2$ стал положительным: $m^2 + 8m - 9 \le 0$. Найдем корни уравнения $m^2 + 8m - 9 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $-9$. Корни: $m_1 = -9$ и $m_2 = 1$. Графиком функции $y = m^2 + 8m - 9$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$). Она пересекает ось Om в точках $m = -9$ и $m = 1$. Неравенство $m^2 + 8m - 9 \le 0$ выполняется, когда парабола находится ниже или на оси Om, то есть на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $m \in [-9; 1]$.

в) $3y^2 + 4y - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $3y^2 + 4y - 4 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$. Корни уравнения: $y_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2$. $y_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Парабола $y = 3y^2 + 4y - 4$ имеет ветви, направленные вверх ($a=3>0$), и пересекает ось Oy в точках $y = -2$ и $y = \frac{2}{3}$. Неравенство $3y^2 + 4y - 4 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Oy, то есть за пределами интервала между корнями.

Ответ: $y \in (-\infty; -2) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$.

г) $8p^2 + 2p \ge 21$

Перенесем все члены в левую часть неравенства: $8p^2 + 2p - 21 \ge 0$. Найдем корни уравнения $8p^2 + 2p - 21 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-21) = 4 + 672 = 676$. $\sqrt{676} = 26$. Корни уравнения: $p_1 = \frac{-2 - 26}{2 \cdot 8} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4}$. $p_2 = \frac{-2 + 26}{2 \cdot 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$. Парабола $y = 8p^2 + 2p - 21$ имеет ветви, направленные вверх ($a=8>0$). Неравенство $8p^2 + 2p - 21 \ge 0$ выполняется на лучах вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Ответ: $p \in (-\infty; -\frac{7}{4}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

д) $12x - 9 \le 4x^2$

Перенесем все члены в одну сторону: $4x^2 - 12x + 9 \ge 0$. Выражение в левой части является полным квадратом: $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$. Получаем неравенство $(2x - 3)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

е) $-9x^2 < 1 - 6x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид: $9x^2 - 6x + 1 > 0$. Выражение в левой части также является полным квадратом: $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$. Получаем неравенство $(3x - 1)^2 > 0$. Квадрат действительного числа всегда больше или равен нулю. Он равен нулю только в том случае, когда само число равно нулю. $(3x - 1)^2 = 0$ при $3x - 1 = 0$, то есть при $x = \frac{1}{3}$. Во всех остальных случаях $(3x - 1)^2$ будет строго больше нуля. Таким образом, неравенство верно для всех $x$, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.