Номер 342, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 342, страница 107.

Условие.

342. При каких значениях a уравнение (a + 2)x² + 8x + a – 4 = 0 имеет два корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $(a + 2)x^2 + 8x + a - 4 = 0$ является уравнением с параметром a. Его вид и, следовательно, количество корней зависят от значения этого параметра.

Сначала рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным. Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:

$a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$). Вычислим дискриминант для нашего уравнения. Коэффициенты уравнения $Ax^2+Bx+C=0$ в данном случае:

$A = a + 2$, $B = 8$, $C = a - 4$

Дискриминант $D$ равен:

$D = B^2 - 4AC = 8^2 - 4(a + 2)(a - 4)$

$D = 64 - 4(a^2 - 4a + 2a - 8) = 64 - 4(a^2 - 2a - 8)$

$D = 64 - 4a^2 + 8a + 32 = -4a^2 + 8a + 96$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$-4a^2 + 8a + 96 > 0$

Разделим обе части неравенства на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$a^2 - 2a - 24 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $a^2 - 2a - 24 = 0$. По теореме Виета (или через формулу корней) находим корни:

$a_1 = 6$ и $a_2 = -4$

Парабола $y = a^2 - 2a - 24$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-4 < a < 6$.

Объединяя это решение с ранее установленным условием $a \neq -2$, мы получаем, что для наличия двух различных корней параметр $a$ должен принадлежать следующему множеству:

$a \in (-4, -2) \cup (-2, 6)$

Далее рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит при:

$a + 2 = 0 \implies a = -2$

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение, чтобы определить, сколько корней оно будет иметь:

$(-2 + 2)x^2 + 8x + (-2) - 4 = 0$

$0 \cdot x^2 + 8x - 6 = 0$

$8x = 6$

$x = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

При $a = -2$ уравнение становится линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи о наличии двух корней.

Таким образом, итоговое множество значений параметра $a$, при которых уравнение имеет два корня, совпадает с решением, полученным в первом случае.

Ответ: $a \in (-4, -2) \cup (-2, 6)$.