Номер 341, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 341, страница 107.

Условие.

341. Найдите область определения функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{144 - 9x^2}}$ находится из условия, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел невозможно.
Таким образом, мы должны решить неравенство:
$144 - 9x^2 > 0$
$144 > 9x^2$
Разделим обе части на 9:
$16 > x^2$
Или $x^2 < 16$.
Это неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x < 4 \\ x > -4 \end{cases}$
Следовательно, область определения функции представляет собой интервал $x \in (-4; 4)$.
Ответ: $D(y) = (-4; 4)$.

б) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{16 - 24x + 9x^2}}{x + 2}$ определяется двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $16 - 24x + 9x^2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 2 \ne 0$.
Рассмотрим первое условие. Выражение $16 - 24x + 9x^2$ можно переписать в виде $9x^2 - 24x + 16$. Заметим, что это полный квадрат разности:
$9x^2 - 24x + 16 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2 = (3x - 4)^2$.
Таким образом, неравенство принимает вид:
$(3x - 4)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для любых значений $x$.
Рассмотрим второе условие:
$x + 2 \ne 0$
$x \ne -2$
Объединяя оба условия, получаем, что функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -2$.
Область определения функции: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.