Номер 336, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 336, страница 106.

Условие.

336. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем в квадрат выражение для $t$:

$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим новые выражения в исходное уравнение:

$2(t^2 - 2) - t = 2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 4 - t = 2$

$2t^2 - t - 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$, то:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x_1 = 1$

2) Если $t = -\frac{3}{2}$, то:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = -3x$

$2x^2 + 3x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

б) $9x^2 - 18x + \frac{9}{x^2} - \frac{18}{x} = 22$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$\left(9x^2 + \frac{9}{x^2}\right) - \left(18x + \frac{18}{x}\right) = 22$

Вынесем общие множители за скобки:

$9\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \frac{1}{x}\right) = 22$

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем задании, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим новые выражения в преобразованное уравнение:

$9(t^2 - 2) - 18t = 22$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$9t^2 - 18 - 18t = 22$

$9t^2 - 18t - 40 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-40) = 324 + 1440 = 1764 = 42^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-18) + 42}{2 \cdot 9} = \frac{18 + 42}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

$t_2 = \frac{-(-18) - 42}{2 \cdot 9} = \frac{18 - 42}{18} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = \frac{10}{3}$, то:

$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$

Умножим обе части на $3x$ (так как $x \neq 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-(-10) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-10) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2) Если $t = -\frac{4}{3}$, то:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3}$

Умножим обе части на $3x$:

$3x^2 + 3 = -4x$

$3x^2 + 4x + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 - 36 = -20$.

Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=3$ и $x=\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.