Номер 336, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 336, страница 106.
№336 (с. 106)
Условие. №336 (с. 106)
скриншот условия

336. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

Решение 1. №336 (с. 106)


Решение 2. №336 (с. 106)


Решение 3. №336 (с. 106)


Решение 4. №336 (с. 106)

Решение 5. №336 (с. 106)

Решение 7. №336 (с. 106)

Решение 8. №336 (с. 106)
а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.
Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем в квадрат выражение для $t$:
$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
Подставим новые выражения в исходное уравнение:
$2(t^2 - 2) - t = 2$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:
$2t^2 - 4 - t = 2$
$2t^2 - t - 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = 2$
$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1) Если $t = 2$, то:
$x + \frac{1}{x} = 2$
Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):
$x^2 + 1 = 2x$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x_1 = 1$
2) Если $t = -\frac{3}{2}$, то:
$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$
Умножим обе части на $2x$:
$2x^2 + 2 = -3x$
$2x^2 + 3x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.
Ответ: $1$.
б) $9x^2 - 18x + \frac{9}{x^2} - \frac{18}{x} = 22$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:
$\left(9x^2 + \frac{9}{x^2}\right) - \left(18x + \frac{18}{x}\right) = 22$
Вынесем общие множители за скобки:
$9\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \frac{1}{x}\right) = 22$
Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.
Как и в предыдущем задании, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
Подставим новые выражения в преобразованное уравнение:
$9(t^2 - 2) - 18t = 22$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:
$9t^2 - 18 - 18t = 22$
$9t^2 - 18t - 40 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-40) = 324 + 1440 = 1764 = 42^2$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-(-18) + 42}{2 \cdot 9} = \frac{18 + 42}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$
$t_2 = \frac{-(-18) - 42}{2 \cdot 9} = \frac{18 - 42}{18} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1) Если $t = \frac{10}{3}$, то:
$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$
Умножим обе части на $3x$ (так как $x \neq 0$):
$3x^2 + 3 = 10x$
$3x^2 - 10x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-(-10) + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-(-10) - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
2) Если $t = -\frac{4}{3}$, то:
$x + \frac{1}{x} = -\frac{4}{3}$
Умножим обе части на $3x$:
$3x^2 + 3 = -4x$
$3x^2 + 4x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 16 - 36 = -20$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=3$ и $x=\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}; 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 336 расположенного на странице 106 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №336 (с. 106), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.