Номер 329, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 329, страница 106.

Условие.

329. Решите уравнение, используя выделение целой части из дроби:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} - \frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = \frac{1}{4}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Теперь выделим целую часть из каждой дроби. Для первой дроби преобразуем числитель:

$x^2 - 5x + 3 = x(x - 5) + 3$

Тогда первая дробь равна:

$\frac{x(x - 5) + 3}{x - 5} = \frac{x(x-5)}{x-5} + \frac{3}{x-5} = x + \frac{3}{x-5}$

Для второй дроби преобразуем числитель:

$x^2 + 5x + 1 = x(x + 5) + 1$

Тогда вторая дробь равна:

$\frac{x(x + 5) + 1}{x + 5} = \frac{x(x+5)}{x+5} + \frac{1}{x+5} = x + \frac{1}{x+5}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x + \frac{3}{x-5}) - (x + \frac{1}{x+5}) = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки и упростим:

$x + \frac{3}{x-5} - x - \frac{1}{x+5} = \frac{1}{4}$

$\frac{3}{x-5} - \frac{1}{x+5} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-5)(x+5) = x^2 - 25$:

$\frac{3(x+5) - 1(x-5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{4}$

$\frac{3x + 15 - x + 5}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

$\frac{2x + 20}{x^2 - 25} = \frac{1}{4}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(2x + 20) = 1(x^2 - 25)$

$8x + 80 = x^2 - 25$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x - 105 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 22}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 22}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 5$ и $x \neq -5$).

Ответ: -7; 15.

б) $\frac{x^2 + 6x + 10}{x + 3} - \frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3} = 7\frac{1}{8}$

Определим ОДЗ:

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Представим правую часть в виде неправильной дроби: $7\frac{1}{8} = \frac{57}{8}$.

Выделим целую часть из каждой дроби в левой части. Для первой дроби:

$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$

$\frac{(x+3)^2 + 1}{x + 3} = \frac{(x+3)^2}{x+3} + \frac{1}{x+3} = x + 3 + \frac{1}{x+3}$

Для второй дроби:

$x^2 - 6x + 7 = (x^2 - 6x + 9) - 2 = (x-3)^2 - 2$

$\frac{(x-3)^2 - 2}{x-3} = \frac{(x-3)^2}{x-3} - \frac{2}{x-3} = x - 3 - \frac{2}{x-3}$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(x + 3 + \frac{1}{x+3}) - (x - 3 - \frac{2}{x-3}) = \frac{57}{8}$

Раскроем скобки и упростим:

$x + 3 + \frac{1}{x+3} - x + 3 + \frac{2}{x-3} = \frac{57}{8}$

$6 + \frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-3} = \frac{57}{8}$

Перенесем 6 в правую часть:

$\frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-3} = \frac{57}{8} - 6 = \frac{57}{8} - \frac{48}{8} = \frac{9}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{1(x-3) + 2(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{9}{8}$

$\frac{x - 3 + 2x + 6}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

$\frac{3x + 3}{x^2 - 9} = \frac{9}{8}$

Используем свойство пропорции:

$8(3x + 3) = 9(x^2 - 9)$

$24x + 24 = 9x^2 - 81$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$9x^2 - 24x - 105 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$3x^2 - 8x - 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35) = 64 + 420 = 484 = 22^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{8 + 22}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{8 - 22}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Оба корня ($5$ и $-\frac{7}{3}$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -3$).

Ответ: $-\frac{7}{3}$; 5.