Номер 327, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 327, страница 105.

Условие.

327. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

а) $\frac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0$

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$y^2 - 16 \neq 0$

$y^2 \neq 16$

Следовательно, $y \neq 4$ и $y \neq -4$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$3y^3 + 12y^2 - 27y - 108 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 3:

$y^3 + 4y^2 - 9y - 36 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(y^3 + 4y^2) - (9y + 36) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$y^2(y + 4) - 9(y + 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y + 4)$:

$(y + 4)(y^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Либо $y + 4 = 0$, откуда $y = -4$.

Либо $y^2 - 9 = 0$, откуда $y^2 = 9$, то есть $y = 3$ или $y = -3$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($y \neq 4$ и $y \neq -4$).

Корень $y = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корни $y = 3$ и $y = -3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -3; 3.

б) $\frac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0$

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Найдем ОДЗ, для этого знаменатель не должен быть равен нулю:

$y^3 - 36y \neq 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y^2 - 36) \neq 0$

$y(y-6)(y+6) \neq 0$

Отсюда получаем, что $y \neq 0$, $y \neq 6$ и $y \neq -6$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$y^3 + 6y^2 - y - 6 = 0$

Разложим на множители левую часть уравнения методом группировки:

$(y^3 + 6y^2) - (y + 6) = 0$

$y^2(y + 6) - 1(y + 6) = 0$

$(y + 6)(y^2 - 1) = 0$

$(y + 6)(y - 1)(y + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Либо $y + 6 = 0$, откуда $y = -6$.

Либо $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$.

Либо $y + 1 = 0$, откуда $y = -1$.

3. Соотнесем полученные корни с ОДЗ ($y \neq 0$, $y \neq 6$, $y \neq -6$).

Корень $y = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Корни $y = 1$ и $y = -1$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 1.