Номер 330, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 330, страница 106.

Условие.

330. Найдите корни уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Исходное уравнение:
$$ \frac{1}{x^2 - 6x + 8} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{x^2 - 4} = 0 $$

1. Первым шагом разложим знаменатели на множители. Для квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8$ найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.
Знаменатель $x^2 - 4$ является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями: $$ \frac{1}{(x - 2)(x - 4)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{10}{(x - 2)(x + 2)} = 0 $$

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$
$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
Следовательно, ОДЗ: $x$ не может быть равен -2, 2, 4.

3. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(x - 2)(x - 4)(x + 2)$. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители: $$ \frac{1 \cdot (x+2)}{(x - 2)(x - 4)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-4)(x+2)}{(x-2)(x-4)(x+2)} + \frac{10 \cdot (x-4)}{(x - 2)(x+2)(x-4)} = 0 $$

4. Так как дроби с одинаковыми знаменателями равны нулю, если их числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю: $$ 1(x + 2) - 1(x - 4)(x + 2) + 10(x - 4) = 0 $$ Раскроем скобки: $$ x + 2 - (x^2 + 2x - 4x - 8) + 10x - 40 = 0 $$ $$ x + 2 - (x^2 - 2x - 8) + 10x - 40 = 0 $$ $$ x + 2 - x^2 + 2x + 8 + 10x - 40 = 0 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -x^2 + (1 + 2 + 10)x + (2 + 8 - 40) = 0 $$ $$ -x^2 + 13x - 30 = 0 $$ Умножим уравнение на -1 для удобства: $$ x^2 - 13x + 30 = 0 $$

5. Решим полученное квадратное уравнение. Используем теорему Виета: ищем два числа, сумма которых равна 13, а произведение 30. Это числа 3 и 10. $x_1 = 3$, $x_2 = 10$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{13 - 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$

6. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -2; 2; 4$). Корень $x = 3$ удовлетворяет условиям ОДЗ. Корень $x = 10$ удовлетворяет условиям ОДЗ. Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 3; 10.

б)

Исходное уравнение:
$$ \frac{3}{x^2 - x - 6} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{x^2 - 9} $$

1. Разложим знаменатели на множители. Для $x^2 - x - 6$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней 1, произведение -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.
Знаменатель $x^2 - 9$ раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложенные знаменатели в уравнение: $$ \frac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{3}{x + 2} = \frac{7}{(x - 3)(x + 3)} $$

2. Определим ОДЗ: $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
ОДЗ: $x$ не может быть равен -3, -2, 3.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 3)(x + 2)(x + 3)$, чтобы избавиться от дробей: $$ \frac{3(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{3(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = \frac{7(x - 3)(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} $$ После сокращения получим: $$ 3(x + 3) + 3(x - 3)(x + 3) = 7(x + 2) $$

4. Решим полученное целое уравнение. Раскроем скобки: $$ 3x + 9 + 3(x^2 - 9) = 7x + 14 $$ $$ 3x + 9 + 3x^2 - 27 = 7x + 14 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 3x^2 + 3x - 18 = 7x + 14 $$ Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$ 3x^2 + 3x - 7x - 18 - 14 = 0 $$ $$ 3x^2 - 4x - 32 = 0 $$

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $a = 3, b = -4, c = -32$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 16 + 384 = 400 = 20^2$
Найдем корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

6. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -3; -2; 3$). Корень $x = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Оба корня являются решениями.

Ответ: $-\frac{8}{3}$; 4.