Номер 337, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

337. При каких значениях a сумма чисел a и $\frac{1}{a}$ в 3$\frac{1}{4}$ раза меньше суммы их кубов?

Пусть даны числа $a$ и $\frac{1}{a}$. По условию задачи, сумма этих чисел в $3\frac{1}{4}$ раза меньше, чем сумма их кубов. Запишем это условие в виде математического уравнения.

Сумма чисел: $S_1 = a + \frac{1}{a}$.
Сумма их кубов: $S_3 = a^3 + \left(\frac{1}{a}\right)^3 = a^3 + \frac{1}{a^3}$.

Условие "сумма чисел в $k$ раз меньше суммы их кубов" означает, что $S_3 = k \cdot S_1$.
В нашем случае $k = 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$.
Получаем уравнение:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = \frac{13}{4} \left(a + \frac{1}{a}\right)$
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$ определяется условием $a \neq 0$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Применив ее к левой части уравнения, получим:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}\right) = \left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) = \frac{13}{4} \left(a + \frac{1}{a}\right)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\left(a + \frac{1}{a}\right)$ за скобки:
$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4} \left(a + \frac{1}{a}\right) = 0$
$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left[ \left(a^2 - 1 + \frac{1}{a^2}\right) - \frac{13}{4} \right] = 0$
$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left( a^2 + \frac{1}{a^2} - 1 - \frac{13}{4} \right) = 0$
$\left(a + \frac{1}{a}\right) \left( a^2 + \frac{1}{a^2} - \frac{17}{4} \right) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.
1) $a + \frac{1}{a} = 0$. Умножив на $a$ (где $a \neq 0$), получим $a^2 + 1 = 0$, или $a^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
2) $a^2 + \frac{1}{a^2} - \frac{17}{4} = 0$. Умножим обе части на $4a^2$ (где $a \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:
$4a^4 + 4 - 17a^2 = 0$
$4a^4 - 17a^2 + 4 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = a^2$. Так как $a$ — действительное число, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид:
$4y^2 - 17y + 4 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$.
$y_1 = \frac{17+15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
$y_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Оба корня положительные, поэтому они удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену $a^2 = y$:
Если $y=4$, то $a^2 = 4$, откуда $a = \pm \sqrt{4}$, то есть $a = 2$ и $a = -2$.
Если $y=\frac{1}{4}$, то $a^2 = \frac{1}{4}$, откуда $a = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $a = \frac{1}{2}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Все четыре найденных значения $a$ удовлетворяют ОДЗ ($a \neq 0$).

Ответ: $a \in \left\{-2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2\right\}$.