Номер 344, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 344, страница 107.

№344 (с. 107)
Условие. №344 (с. 107)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Условие

344. При каких значениях c не имеет корней уравнение:

а) x⁴ – 12x² + c = 0;

б) x⁴ + cx² + 100 = 0?

Решение 1. №344 (с. 107)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №344 (с. 107)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 2 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №344 (с. 107)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 3 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №344 (с. 107)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 4
Решение 5. №344 (с. 107)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344, Решение 5
Решение 7. №344 (с. 107)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 107, номер 344,  Решение 7
Решение 8. №344 (с. 107)

а)

Рассмотрим биквадратное уравнение $x^4 - 12x^2 + c = 0$.

Чтобы решить его, сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 12t + c = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если соответствующее ему квадратное уравнение для $t$ либо не имеет действительных корней вовсе, либо все его действительные корни отрицательны (так как $t = x^2$ не может быть отрицательным).

Проанализируем эти два случая.

1. Квадратное уравнение $t^2 - 12t + c = 0$ не имеет действительных корней.

Это происходит, когда его дискриминант $D$ меньше нуля.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$.

Найдем значения $c$, при которых дискриминант отрицателен:

$144 - 4c < 0$

$144 < 4c$

$c > 36$

2. Квадратное уравнение $t^2 - 12t + c = 0$ имеет только отрицательные действительные корни.

Для этого необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен ($D \ge 0$), а по теореме Виета, сумма корней ($t_1 + t_2$) была отрицательной, а их произведение ($t_1 \cdot t_2$) — положительным.

• Условие существования действительных корней: $D \ge 0 \implies 144 - 4c \ge 0 \implies c \le 36$.

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = -(-12)/1 = 12$.

Сумма корней равна $12$, что является положительным числом. Если у уравнения есть два действительных корня, то они не могут быть оба отрицательными (их сумма была бы отрицательной). Также они не могут быть равны нулю и отрицательному числу (сумма была бы отрицательной). Следовательно, если действительные корни существуют, хотя бы один из них положителен. Это означает, что второй случай невозможен.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней только при условии из первого случая.

Ответ: $c > 36$.

б)

Рассмотрим биквадратное уравнение $x^4 + cx^2 + 100 = 0$.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 + ct + 100 = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если для уравнения $t^2 + ct + 100 = 0$ выполняется одно из двух условий:

1. Уравнение не имеет действительных корней.

2. Все действительные корни уравнения отрицательны.

Рассмотрим оба случая.

1. Уравнение $t^2 + ct + 100 = 0$ не имеет действительных корней.

Его дискриминант $D$ должен быть отрицателен.

$D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = c^2 - 400$.

Решим неравенство $D < 0$:

$c^2 - 400 < 0$

$c^2 < 400$

$-20 < c < 20$

2. Уравнение $t^2 + ct + 100 = 0$ имеет только отрицательные действительные корни.

Для этого должны выполняться следующие условия:

• Дискриминант неотрицателен: $D \ge 0 \implies c^2 - 400 \ge 0 \implies c^2 \ge 400$. Это верно при $c \le -20$ или $c \ge 20$.

• По теореме Виета, произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 100/1 = 100$. Так как произведение положительно, корни имеют одинаковый знак.

• Сумма корней $t_1 + t_2 = -c/1 = -c$. Чтобы оба корня были отрицательными, их сумма также должна быть отрицательной: $-c < 0$, что равносильно $c > 0$.

Объединим условия для второго случая: ($c \le -20$ или $c \ge 20$) и ($c > 0$).

Пересечением этих условий является промежуток $c \ge 20$.

Итак, исходное уравнение не имеет корней, если выполняется либо условие из первого случая ($-20 < c < 20$), либо условие из второго случая ($c \ge 20$).

Объединим найденные множества значений для $c$:

$(-20, 20) \cup [20, \infty)$.

Это объединение дает интервал $(-20, \infty)$.

Ответ: $c > -20$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 344 расположенного на странице 107 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №344 (с. 107), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.