Номер 344, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 344, страница 107.

Условие.

344. При каких значениях c не имеет корней уравнение:

а) x⁴ – 12x² + c = 0;

б) x⁴ + cx² + 100 = 0?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Рассмотрим биквадратное уравнение $x^4 - 12x^2 + c = 0$.

Чтобы решить его, сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 12t + c = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если соответствующее ему квадратное уравнение для $t$ либо не имеет действительных корней вовсе, либо все его действительные корни отрицательны (так как $t = x^2$ не может быть отрицательным).

Проанализируем эти два случая.

1. Квадратное уравнение $t^2 - 12t + c = 0$ не имеет действительных корней.

Это происходит, когда его дискриминант $D$ меньше нуля.

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 144 - 4c$.

Найдем значения $c$, при которых дискриминант отрицателен:

$144 - 4c < 0$

$144 < 4c$

$c > 36$

2. Квадратное уравнение $t^2 - 12t + c = 0$ имеет только отрицательные действительные корни.

Для этого необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен ($D \ge 0$), а по теореме Виета, сумма корней ($t_1 + t_2$) была отрицательной, а их произведение ($t_1 \cdot t_2$) — положительным.

• Условие существования действительных корней: $D \ge 0 \implies 144 - 4c \ge 0 \implies c \le 36$.

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = -(-12)/1 = 12$.

Сумма корней равна $12$, что является положительным числом. Если у уравнения есть два действительных корня, то они не могут быть оба отрицательными (их сумма была бы отрицательной). Также они не могут быть равны нулю и отрицательному числу (сумма была бы отрицательной). Следовательно, если действительные корни существуют, хотя бы один из них положителен. Это означает, что второй случай невозможен.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней только при условии из первого случая.

Ответ: $c > 36$.

б)

Рассмотрим биквадратное уравнение $x^4 + cx^2 + 100 = 0$.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 + ct + 100 = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней, если для уравнения $t^2 + ct + 100 = 0$ выполняется одно из двух условий:

1. Уравнение не имеет действительных корней.

2. Все действительные корни уравнения отрицательны.

Рассмотрим оба случая.

1. Уравнение $t^2 + ct + 100 = 0$ не имеет действительных корней.

Его дискриминант $D$ должен быть отрицателен.

$D = c^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = c^2 - 400$.

Решим неравенство $D < 0$:

$c^2 - 400 < 0$

$c^2 < 400$

$-20 < c < 20$

2. Уравнение $t^2 + ct + 100 = 0$ имеет только отрицательные действительные корни.

Для этого должны выполняться следующие условия:

• Дискриминант неотрицателен: $D \ge 0 \implies c^2 - 400 \ge 0 \implies c^2 \ge 400$. Это верно при $c \le -20$ или $c \ge 20$.

• По теореме Виета, произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 100/1 = 100$. Так как произведение положительно, корни имеют одинаковый знак.

• Сумма корней $t_1 + t_2 = -c/1 = -c$. Чтобы оба корня были отрицательными, их сумма также должна быть отрицательной: $-c < 0$, что равносильно $c > 0$.

Объединим условия для второго случая: ($c \le -20$ или $c \ge 20$) и ($c > 0$).

Пересечением этих условий является промежуток $c \ge 20$.

Итак, исходное уравнение не имеет корней, если выполняется либо условие из первого случая ($-20 < c < 20$), либо условие из второго случая ($c \ge 20$).

Объединим найденные множества значений для $c$:

$(-20, 20) \cup [20, \infty)$.

Это объединение дает интервал $(-20, \infty)$.

Ответ: $c > -20$.