Номер 346, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

346. Найдите общие решения неравенств

x² + 6x – 7 ≤ 0 и x² – 2x – 15 ≤ 0.

Чтобы найти общие решения неравенств, необходимо решить каждое из них по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их множеств решений.

$x^2 + 6x - 7 \le 0$

Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$.
Функция $y = x^2 + 6x - 7$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решением первого неравенства является отрезок $[-7; 1]$.

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Аналогично решим второе неравенство. Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ также направлены вверх ($a=1 > 0$). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями.
Решением второго неравенства является отрезок $[-3; 5]$.

Теперь найдём общие решения, то есть пересечение полученных промежутков: $[-7; 1] \cap [-3; 5]$.
Для этого нужно найти промежуток, который является частью обоих отрезков. На числовой прямой видно, что общая часть начинается с $-3$ (включительно) и заканчивается $1$ (включительно).
Следовательно, общим решением является отрезок $[-3; 1]$.

Ответ: $x \in [-3; 1]$.