Номер 345, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 345, страница 107.

Условие.

345. (Задача-исследование.) При каких значениях k биквадратное уравнение x⁴ – 13x² + k = 0:

а) имеет четыре корня;

б) имеет два корня;

в) не имеет корней?

1) Обозначьте x² через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение имеет два корня; имеет один корень; не имеет корней.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения биквадратного уравнения $x^4 - 13x^2 + k = 0$ проведем исследование, следуя предложенному плану.

1) Обозначьте $x^2$ через y. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение имеет два корня; имеет один корень; не имеет корней.

Введем замену переменной $y = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$). После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно $y$: $$ y^2 - 13y + k = 0 $$ Количество корней этого уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$. $$ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 169 - 4k $$

• Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$, то есть $169 - 4k > 0$, что равносильно $k < \frac{169}{4}$.
• Уравнение имеет один корень (два совпадающих), если $D = 0$, то есть $169 - 4k = 0$, что равносильно $k = \frac{169}{4}$.
• Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$, то есть $169 - 4k < 0$, что равносильно $k > \frac{169}{4}$.

2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной y, если корни существуют.

Знаки корней $y_1$ и $y_2$ можно определить с помощью теоремы Виета. Для уравнения $y^2 - 13y + k = 0$ имеем:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = 13$
Произведение корней: $y_1 y_2 = k$
Так как сумма корней $y_1 + y_2 = 13$ положительна, то хотя бы один из корней должен быть положительным. Невозможно, чтобы оба корня были отрицательными.
Рассмотрим случаи, когда корни существуют ($D \ge 0 \implies k \le \frac{169}{4}$):

• Если $k > 0$, то произведение $y_1 y_2$ положительно. Так как сумма корней также положительна, оба корня $y_1$ и $y_2$ положительны. Это соответствует интервалу $0 < k < \frac{169}{4}$ (для двух различных корней) и точке $k = \frac{169}{4}$ (для одного корня $y = \frac{13}{2} > 0$).
• Если $k = 0$, то $y_1 y_2 = 0$. Это значит, что один из корней равен 0. Из суммы корней находим второй корень: $0 + y_2 = 13 \implies y_2 = 13$. Корни: $y_1=0, y_2=13$.
• Если $k < 0$, то $y_1 y_2 < 0$. Это значит, что корни имеют разные знаки: один положительный, а другой отрицательный.

3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.

Число корней исходного биквадратного уравнения $x^4 - 13x^2 + k = 0$ определяется числом неотрицательных корней квадратного уравнения для $y$, так как $x = \pm\sqrt{y}$.

• Четыре корня: Исходное уравнение имеет 4 различных корня, если уравнение для $y$ имеет два различных положительных корня ($y_1>0, y_2>0$). Из анализа в п.2 следует, что это происходит при $0 < k < \frac{169}{4}$.
• Три корня: Исходное уравнение имеет 3 корня, если уравнение для $y$ имеет один положительный корень и один корень, равный нулю ($y_1>0, y_2=0$). Это происходит при $k=0$. Корень $y=13$ дает $x=\pm\sqrt{13}$, а корень $y=0$ дает $x=0$.
• Два корня: Исходное уравнение имеет 2 корня в двух случаях:
  1. Уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Положительный корень $y$ дает два корня $x$, а отрицательный — ноль. Это происходит при $k<0$.
  2. Уравнение для $y$ имеет один единственный (кратный) положительный корень. Это происходит при $D=0 \implies k = \frac{169}{4}$. Корень $y=\frac{13}{2}$ положителен и дает два корня $x$.
• Нет корней: Исходное уравнение не имеет корней, если уравнение для $y$ не имеет положительных корней. Это происходит, когда:
  1. Уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Это происходит при $k > \frac{169}{4}$.
  2. Все действительные корни уравнения для $y$ отрицательны. Этот случай невозможен, так как их сумма равна 13.

На основе проведенного исследования ответим на поставленные вопросы.

а) имеет четыре корня

Биквадратное уравнение имеет четыре различных корня, когда соответствующее ему квадратное уравнение $y^2 - 13y + k = 0$ (где $y=x^2$) имеет два различных положительных корня. Это происходит, когда его дискриминант $D = 169 - 4k$ положителен (для двух различных корней) и произведение корней $k$ также положительно (чтобы оба корня были одного знака, а так как их сумма 13 положительна, то оба будут положительными). Это приводит к системе неравенств: $$ \begin{cases} D > 0 \\ k > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 169 - 4k > 0 \\ k > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} k < \frac{169}{4} \\ k > 0 \end{cases} $$ Решением системы является интервал $0 < k < \frac{169}{4}$.

Ответ: при $k \in (0; \frac{169}{4})$.

б) имеет два корня

Биквадратное уравнение имеет два различных корня в двух случаях:
1. Квадратное уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Положительный корень $y$ даст два корня для $x$, а отрицательный — ноль. Условием для этого является отрицательное произведение корней: $y_1 y_2 = k < 0$. При $k<0$ дискриминант $D = 169-4k > 169 > 0$, так что два различных корня для $y$ гарантированы.
2. Квадратное уравнение для $y$ имеет один единственный корень (кратности 2), и этот корень положителен. Это происходит, когда дискриминант равен нулю, $D = 169 - 4k = 0$, то есть $k = \frac{169}{4}$. При этом значении $k$ единственный корень уравнения для $y$ равен $y = -\frac{-13}{2 \cdot 1} = \frac{13}{2}$, что является положительным числом. Этот корень $y$ даст два корня для $x$ ($x = \pm\sqrt{13/2}$).
Объединяя эти два случая, получаем, что исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: при $k \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{169}{4}\}$.

в) не имеет корней

Биквадратное уравнение не имеет действительных корней, если соответствующее квадратное уравнение $y^2 - 13y + k = 0$ не имеет неотрицательных корней. Это происходит в следующих случаях:
1. Уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант отрицателен: $D = 169 - 4k < 0$, что равносильно $k > \frac{169}{4}$.
2. Уравнение для $y$ имеет действительные корни, но все они отрицательны. Как было показано в пункте 2), этот случай невозможен, так как сумма корней $y_1+y_2=13$ положительна.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней только в первом случае.

Ответ: при $k \in (\frac{169}{4}; +\infty)$.