Номер 348, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

348. Решите систему неравенств:

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$.
Отсюда находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0), неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-3, 2)$.

2. Решим второе неравенство: $-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-1, 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение интервалов $(-3, 2)$ и $(-1, 3)$.
Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$.
Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$.
Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-2, 4)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множества $(-\infty, -5) \cup (1, \infty)$ и интервала $(-2, 4)$.
Интервал $(-2, 4)$ не имеет общих точек с интервалом $(-\infty, -5)$.
Пересечение интервала $(-2, 4)$ с интервалом $(1, \infty)$ является интервал $(1, 4)$.
Следовательно, решением системы является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$.