Номер 347, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 347, страница 108.

Условие.

347. Решите систему неравенств:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 4x^2 - 27x - 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $$ Сначала решим первое неравенство $4x^2 - 27x - 7 > 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 27x - 7 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841$. $\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7$. Графиком функции $y = 4x^2 - 27x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=4 > 0$). Следовательно, неравенство $4x^2 - 27x - 7 > 0$ выполняется при $x$, находящихся за пределами корней. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -0.25) \cup (7; +\infty)$. Второе неравенство системы: $x > 0$. Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -0.25) \cup (7; +\infty)$ и $(0; +\infty)$. Пересечением является интервал $(7; +\infty)$.
Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -3x^2 + 17x + 6 < 0 \\ x < 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство $-3x^2 + 17x + 6 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 17x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 17x - 6 = 0$. $D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 289 + 72 = 361$. $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{17 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. $x_2 = \frac{17 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$. Графиком функции $y = 3x^2 - 17x - 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=3>0$), поэтому неравенство $3x^2 - 17x - 6 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$. Второе неравенство системы: $x < 0$. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$. Пересечением является интервал $(-\infty; -1/3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/3)$.

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + 1 < 0 \\ 2x^2 - 18 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x + 1 < 0 \implies x < -1$. Решим второе неравенство: $2x^2 - 18 > 0$. Разделим обе части на 2: $x^2 - 9 > 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$. Корнями являются $x = -3$ и $x = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x < -1$ и $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Общим решением является интервал $(-\infty; -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - 4 > 0 \\ 3x^2 - 15x < 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x - 4 > 0 \implies x > 4$. Решим второе неравенство: $3x^2 - 15x < 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x - 5) < 0$. Корнями являются $x=0$ и $x=5$. Так как это парабола с ветвями вверх ($a=3>0$), неравенство выполняется между корнями: $x \in (0; 5)$. Найдем пересечение решений $x > 4$ и $x \in (0; 5)$. Общим решением является интервал $(4; 5)$.
Ответ: $x \in (4; 5)$.