Номер 352, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

352. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) $(x^2 - 16)(x + 17) > 0$

Разложим левую часть неравенства на множители. Выражение $x^2 - 16$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.

Подставим разложение в исходное неравенство:

$(x - 4)(x + 4)(x + 17) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 4)(x + 17) = 0$.

Корнями являются значения $x$, при которых хотя бы один из множителей равен нулю: $x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$; $x + 17 = 0 \Rightarrow x_3 = -17$.

Отметим эти корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-17$, $-4$, $4$. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -17)$, $(-17; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$.

При $x=5$: $(5 - 4)(5 + 4)(5 + 17) = 1 \cdot 9 \cdot 22 = 198 > 0$. Значит, в интервале $(4; \infty)$ выражение положительно.

Все корни имеют нечетную кратность (равную 1), поэтому при переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Расставим знаки в интервалах справа налево: +, -, +, -.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше нуля ($>0$), то есть интервалы со знаком "+".

Это интервалы $(-17; -4)$ и $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-17; -4) \cup (4; \infty)$.

б) $(x - \frac{2}{3})(x^2 - 121) < 0$

Разложим на множители выражение $x^2 - 121$, используя формулу разности квадратов: $x^2 - 121 = x^2 - 11^2 = (x - 11)(x + 11)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - \frac{2}{3})(x - 11)(x + 11) < 0$.

Найдем корни уравнения $(x - \frac{2}{3})(x - 11)(x + 11) = 0$.

Корни: $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = 11$, $x_3 = -11$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-11$, $\frac{2}{3}$, $11$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -11)$, $(-11; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 11)$ и $(11; \infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(11; \infty)$, взяв пробную точку $x=12$:

$(12 - \frac{2}{3})(12 - 11)(12 + 11) > 0$. Знак "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($<0$), то есть интервалы со знаком "-".

Это интервалы $(-\infty; -11)$ и $(\frac{2}{3}; 11)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (\frac{2}{3}; 11)$.

в) $x^3 - 25x < 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 25) < 0$.

Затем разложим на множители разность квадратов $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.

Неравенство примет вид:

$x(x - 5)(x + 5) < 0$.

Найдем корни уравнения $x(x - 5)(x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = -5$.

Отметим корни на числовой прямой: $-5$, $0$, $5$. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; \infty)$.

Определим знак в интервале $(5; \infty)$, взяв $x=6$: $6(6 - 5)(6 + 5) > 0$. Знак "+".

Знаки в интервалах чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$), то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(0; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; 5)$.

г) $x^3 - 0.01x > 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 0.01) > 0$.

Разложим разность квадратов $x^2 - 0.01 = x^2 - (0.1)^2 = (x - 0.1)(x + 0.1)$.

Неравенство примет вид:

$x(x - 0.1)(x + 0.1) > 0$.

Корни уравнения $x(x - 0.1)(x + 0.1) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 0.1$, $x_3 = -0.1$.

Отметим корни на числовой прямой: $-0.1$, $0$, $0.1$. Интервалы: $(-\infty; -0.1)$, $(-0.1; 0)$, $(0; 0.1)$ и $(0.1; \infty)$.

Определим знак в интервале $(0.1; \infty)$, взяв $x=1$: $1(1 - 0.1)(1 + 0.1) > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$), то есть со знаком "+".

Это интервалы $(-0.1; 0)$ и $(0.1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-0.1; 0) \cup (0.1; \infty)$.

д) $(x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0$

Разложим оба множителя как разности квадратов:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$;

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0$.

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = 1$, $x_4 = -1$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-3$, $-1$, $1$, $3$. Они разбивают прямую на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; \infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(3; \infty)$, взяв $x=4$: $(4 - 3)(4 + 3)(4 - 1)(4 + 1) > 0$. Знак "+".

Знаки в интервалах чередуются: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$), то есть со знаком "+".

Это интервалы $(-\infty; -3)$, $(-1; 1)$ и $(3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 1) \cup (3; \infty)$.

е) $(x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0$

Разложим на множители каждую скобку:

Первая скобка: $x^2 - 15x = x(x - 15)$.

Вторая скобка (разность квадратов): $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$.

Неравенство принимает вид:

$x(x - 15)(x - 6)(x + 6) < 0$.

Корни уравнения $x(x - 15)(x - 6)(x + 6) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 15$, $x_3 = 6$, $x_4 = -6$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-6$, $0$, $6$, $15$. Они разбивают прямую на пять интервалов: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 6)$, $(6; 15)$ и $(15; \infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(15; \infty)$, взяв $x=16$: $16(16 - 15)(16 - 6)(16 + 6) > 0$. Знак "+".

Знаки в интервалах чередуются: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$), то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-6; 0)$ и $(6; 15)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (6; 15)$.