Номер 350, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 350, страница 108.

Условие.

350. При каких значениях x произведение (3x – 5)(x + 4)(2 – x):

а) равно нулю;

б) положительно;

в) отрицательно?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) равно нулю;

Произведение $(3x - 5)(x + 4)(2 - x)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти соответствующие значения $x$:

1) $3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$
2) $x + 4 = 0 \implies x = -4$
3) $2 - x = 0 \implies x = 2$

Таким образом, произведение равно нулю при $x=-4$, $x=\frac{5}{3}$ и $x=2$.

Ответ: $x = -4;\ x = \frac{5}{3};\ x = 2$.

б) положительно;

Чтобы определить, при каких значениях $x$ произведение положительно, решим неравенство $(3x - 5)(x + 4)(2 - x) > 0$. Для этого воспользуемся методом интервалов. Корни выражения (точки, в которых оно равно нулю) были найдены в пункте а): $x_1 = -4$, $x_2 = \frac{5}{3}$, $x_3 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых знак произведения постоянен. Определим знак произведения в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке:

Интервал $(-\infty, -4)$: возьмем $x=-5$.
$(3(-5) - 5)(-5 + 4)(2 - (-5)) = (-20)(-1)(7) = 140 > 0$. Знак «+».
Интервал $(-4, \frac{5}{3})$: возьмем $x=0$.
$(3(0) - 5)(0 + 4)(2 - 0) = (-5)(4)(2) = -40 < 0$. Знак «-».
Интервал $(\frac{5}{3}, 2)$: возьмем $x=1,8$.
$(3(1,8) - 5)(1,8 + 4)(2 - 1,8) = (0,4)(5,8)(0,2) > 0$. Знак «+».
Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$.
$(3(3) - 5)(3 + 4)(2 - 3) = (4)(7)(-1) = -28 < 0$. Знак «-».

Произведение положительно на тех интервалах, где мы получили знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (\frac{5}{3}, 2)$.

в) отрицательно?

Чтобы определить, при каких значениях $x$ произведение отрицательно, решим неравенство $(3x - 5)(x + 4)(2 - x) < 0$.
Используя результаты анализа знаков из пункта б), мы видим, что произведение отрицательно на тех интервалах, где мы получили знак «-».

Ответ: $x \in (-4, \frac{5}{3}) \cup (2, +\infty)$.