Страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

346. Найдите общие решения неравенств

x² + 6x – 7 ≤ 0 и x² – 2x – 15 ≤ 0.

Чтобы найти общие решения неравенств, необходимо решить каждое из них по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их множеств решений.

$x^2 + 6x - 7 \le 0$

Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$.
Функция $y = x^2 + 6x - 7$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции меньше или равны нулю ($y \le 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решением первого неравенства является отрезок $[-7; 1]$.

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Аналогично решим второе неравенство. Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 15$ также направлены вверх ($a=1 > 0$). Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями.
Решением второго неравенства является отрезок $[-3; 5]$.

Теперь найдём общие решения, то есть пересечение полученных промежутков: $[-7; 1] \cap [-3; 5]$.
Для этого нужно найти промежуток, который является частью обоих отрезков. На числовой прямой видно, что общая часть начинается с $-3$ (включительно) и заканчивается $1$ (включительно).
Следовательно, общим решением является отрезок $[-3; 1]$.

Ответ: $x \in [-3; 1]$.

347. Решите систему неравенств:

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 4x^2 - 27x - 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $$ Сначала решим первое неравенство $4x^2 - 27x - 7 > 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 27x - 7 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 729 + 112 = 841$. $\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 29}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 29}{2 \cdot 4} = \frac{56}{8} = 7$. Графиком функции $y = 4x^2 - 27x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=4 > 0$). Следовательно, неравенство $4x^2 - 27x - 7 > 0$ выполняется при $x$, находящихся за пределами корней. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -0.25) \cup (7; +\infty)$. Второе неравенство системы: $x > 0$. Найдем пересечение множеств решений: $(-\infty; -0.25) \cup (7; +\infty)$ и $(0; +\infty)$. Пересечением является интервал $(7; +\infty)$.
Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -3x^2 + 17x + 6 < 0 \\ x < 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство $-3x^2 + 17x + 6 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 17x - 6 > 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 17x - 6 = 0$. $D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 289 + 72 = 361$. $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{17 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$. $x_2 = \frac{17 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$. Графиком функции $y = 3x^2 - 17x - 6$ является парабола с ветвями вверх ($a=3>0$), поэтому неравенство $3x^2 - 17x - 6 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$. Второе неравенство системы: $x < 0$. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -1/3) \cup (6; +\infty)$ и $(-\infty; 0)$. Пересечением является интервал $(-\infty; -1/3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/3)$.

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x + 1 < 0 \\ 2x^2 - 18 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x + 1 < 0 \implies x < -1$. Решим второе неравенство: $2x^2 - 18 > 0$. Разделим обе части на 2: $x^2 - 9 > 0$. Разложим на множители: $(x-3)(x+3) > 0$. Корнями являются $x = -3$ и $x = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x < -1$ и $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Общим решением является интервал $(-\infty; -3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x - 4 > 0 \\ 3x^2 - 15x < 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x - 4 > 0 \implies x > 4$. Решим второе неравенство: $3x^2 - 15x < 0$. Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x - 5) < 0$. Корнями являются $x=0$ и $x=5$. Так как это парабола с ветвями вверх ($a=3>0$), неравенство выполняется между корнями: $x \in (0; 5)$. Найдем пересечение решений $x > 4$ и $x \in (0; 5)$. Общим решением является интервал $(4; 5)$.
Ответ: $x \in (4; 5)$.

348. Решите систему неравенств:

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0, \\ -x^2 + 2x + 3 > 0; \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 6 < 0$.

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$.
Отсюда находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0), неравенство $x^2 + x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-3, 2)$.

2. Решим второе неравенство: $-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-1, 3)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение интервалов $(-3, 2)$ и $(-1, 3)$.
Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0, \\ x^2 - 2x - 8 < 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 4x - 5 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$.
Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 4x - 5 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$.
Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение второго неравенства: $x \in (-2, 4)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множества $(-\infty, -5) \cup (1, \infty)$ и интервала $(-2, 4)$.
Интервал $(-2, 4)$ не имеет общих точек с интервалом $(-\infty, -5)$.
Пересечение интервала $(-2, 4)$ с интервалом $(1, \infty)$ является интервал $(1, 4)$.
Следовательно, решением системы является интервал $(1, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 4)$.

349. Решите неравенство:

а) $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 1,2)(6 - x)(x - 4) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем корни: $x_1 = -1,2$; $x_2 = 6$; $x_3 = 4$.

Чтобы применить метод интервалов, приведем неравенство к стандартному виду, где коэффициент при $x$ в каждом множителе положителен. Заметим, что $(6 - x) = -(x - 6)$.

Неравенство принимает вид: $(x + 1,2)(-(x - 6))(x - 4) > 0$.

Вынесем минус за скобки: $-(x + 1,2)(x - 4)(x - 6) > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(x + 1,2)(x - 4)(x - 6) < 0$.

Отметим найденные корни на числовой оси в порядке возрастания: -1,2; 4; 6. Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -1,2)$, $(-1,2; 4)$, $(4; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(6; +\infty)$, например, при $x = 10$: $(10 + 1,2)(10 - 4)(10 - 6) > 0$. Знак "плюс".

Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах чередуются: +, -, +, - (справа налево).

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $(-\infty; -1,2)$ и $(4; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2) \cup (4; 6)$.

б) $(\frac{1}{3} - x)(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{7} - x) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения, приравняв каждый множитель к нулю: $x_1 = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{1}{2}$; $x_3 = \frac{1}{7}$.

Приведем неравенство к стандартному виду. Для этого в каждом множителе вынесем -1 за скобку:

$(-(x - \frac{1}{3}))(-(x - \frac{1}{2}))(-(x - \frac{1}{7})) < 0$

Произведение трех отрицательных множителей дает отрицательный результат:

$-(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{7}) < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$(x - \frac{1}{7})(x - \frac{1}{3})(x - \frac{1}{2}) > 0$

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$ (так как $7 > 3 > 2$).

Определим знаки на интервалах. В крайнем правом интервале $(\frac{1}{2}; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Интервалы и знаки: $(\frac{1}{2}; +\infty) \rightarrow +$; $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2}) \rightarrow -$; $(\frac{1}{7}; \frac{1}{3}) \rightarrow +$; $(-\infty; \frac{1}{7}) \rightarrow -$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").

Ответ: $x \in (\frac{1}{7}; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) $(x + 0,6)(1,6 + x)(1,2 - x) > 0$

Используем метод интервалов. Находим корни: $x_1 = -0,6$; $x_2 = -1,6$; $x_3 = 1,2$.

Приведем неравенство к стандартному виду. Перепишем множители: $(x + 0,6)$, $(x + 1,6)$, $(1,2 - x) = -(x - 1,2)$.

Неравенство принимает вид: $(x + 1,6)(x + 0,6)(-(x - 1,2)) > 0$.

$-(x + 1,6)(x + 0,6)(x - 1,2) > 0$.

Умножим на -1, меняя знак неравенства:

$(x + 1,6)(x + 0,6)(x - 1,2) < 0$.

Отметим корни на оси: -1,6; -0,6; 1,2.

В крайнем правом интервале $(1,2; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: +, -, +, - (справа налево).

Нам нужны интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)$.

г) $(1,7 - x)(1,8 + x)(1,9 - x) < 0$

Решаем методом интервалов. Находим корни: $x_1 = 1,7$; $x_2 = -1,8$; $x_3 = 1,9$.

Приведем неравенство к стандартному виду:

$(1,7 - x) = -(x - 1,7)$

$(1,8 + x) = (x + 1,8)$

$(1,9 - x) = -(x - 1,9)$

Подставляем в неравенство: $(-(x - 1,7))(x + 1,8)(-(x - 1,9)) < 0$.

Произведение двух отрицательных множителей дает положительный, поэтому неравенство эквивалентно:

$(x + 1,8)(x - 1,7)(x - 1,9) < 0$.

Отметим корни на оси: -1,8; 1,7; 1,9.

В крайнем правом интервале $(1,9; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: +, -, +, - (справа налево).

Нам нужны интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-\infty; -1,8) \cup (1,7; 1,9)$.

350. При каких значениях x произведение (3x – 5)(x + 4)(2 – x):

а) равно нулю;

б) положительно;

в) отрицательно?

а) равно нулю;

Произведение $(3x - 5)(x + 4)(2 - x)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти соответствующие значения $x$:

1) $3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$
2) $x + 4 = 0 \implies x = -4$
3) $2 - x = 0 \implies x = 2$

Таким образом, произведение равно нулю при $x=-4$, $x=\frac{5}{3}$ и $x=2$.

Ответ: $x = -4;\ x = \frac{5}{3};\ x = 2$.

б) положительно;

Чтобы определить, при каких значениях $x$ произведение положительно, решим неравенство $(3x - 5)(x + 4)(2 - x) > 0$. Для этого воспользуемся методом интервалов. Корни выражения (точки, в которых оно равно нулю) были найдены в пункте а): $x_1 = -4$, $x_2 = \frac{5}{3}$, $x_3 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала, в каждом из которых знак произведения постоянен. Определим знак произведения в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке:

Интервал $(-\infty, -4)$: возьмем $x=-5$.
$(3(-5) - 5)(-5 + 4)(2 - (-5)) = (-20)(-1)(7) = 140 > 0$. Знак «+».
Интервал $(-4, \frac{5}{3})$: возьмем $x=0$.
$(3(0) - 5)(0 + 4)(2 - 0) = (-5)(4)(2) = -40 < 0$. Знак «-».
Интервал $(\frac{5}{3}, 2)$: возьмем $x=1,8$.
$(3(1,8) - 5)(1,8 + 4)(2 - 1,8) = (0,4)(5,8)(0,2) > 0$. Знак «+».
Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$.
$(3(3) - 5)(3 + 4)(2 - 3) = (4)(7)(-1) = -28 < 0$. Знак «-».

Произведение положительно на тех интервалах, где мы получили знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (\frac{5}{3}, 2)$.

в) отрицательно?

Чтобы определить, при каких значениях $x$ произведение отрицательно, решим неравенство $(3x - 5)(x + 4)(2 - x) < 0$.
Используя результаты анализа знаков из пункта б), мы видим, что произведение отрицательно на тех интервалах, где мы получили знак «-».

Ответ: $x \in (-4, \frac{5}{3}) \cup (2, +\infty)$.

351. Решите неравенство:

а) $(18x - 36)(x - 7) > 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(18x - 36)(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $18x - 36 = 0 \Rightarrow 18x = 36 \Rightarrow x_1 = 2$

2) $x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$

Отметим корни $2$ и $7$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Функция $y = (18x - 36)(x - 7) = 18(x-2)(x-7)$ является параболой, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($18 > 0$). Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями и отрицательны между корнями.

Таким образом, знаки на интервалах будут следующими: + на $(-\infty; 2)$, - на $(2; 7)$, + на $(7; \infty)$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), нас интересуют интервалы, где выражение положительно.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; \infty)$.

б) $(x - 7,3)(9,8 - x) > 0$

Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:

1) $x - 7,3 = 0 \Rightarrow x_1 = 7,3$

2) $9,8 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 9,8$

Отметим корни $7,3$ и $9,8$ на числовой прямой. Они образуют интервалы $(-\infty; 7,3)$, $(7,3; 9,8)$ и $(9,8; \infty)$.

Для удобства определения знаков преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем $-1$ из второй скобки:

$(x - 7,3)(-(x - 9,8)) > 0$

$-(x - 7,3)(x - 9,8) > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 7,3)(x - 9,8) < 0$

График функции $y = (x - 7,3)(x - 9,8)$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это интервал между $7,3$ и $9,8$.

Ответ: $x \in (7,3; 9,8)$.

в) $(x + 0,8)(4 - x)(x - 20) < 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули функции $f(x) = (x + 0,8)(4 - x)(x - 20)$:

1) $x + 0,8 = 0 \Rightarrow x_1 = -0,8$

2) $4 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 4$

3) $x - 20 = 0 \Rightarrow x_3 = 20$

Нанесем корни $-0,8$, $4$ и $20$ на числовую ось. Они делят ее на четыре интервала: $(-\infty; -0,8)$, $(-0,8; 4)$, $(4; 20)$ и $(20; \infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(20; \infty)$, взяв, например, $x = 21$:

$(21 + 0,8)(4 - 21)(21 - 20) = (21,8)(-17)(1) < 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки на интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем: - на $(20; \infty)$, + на $(4; 20)$, - на $(-0,8; 4)$, + на $(-\infty; -0,8)$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($< 0$). Это интервалы со знаком "?".

Альтернативный способ: преобразуем неравенство, вынеся $-1$ из второго множителя:

$-(x + 0,8)(x - 4)(x - 20) < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак:

$(x + 0,8)(x - 4)(x - 20) > 0$

Теперь ищем интервалы, где выражение положительно. Это будут те же интервалы, которые мы пометили знаком "+": $(-0,8; 4)$ и $(20; \infty)$.

Ответ: $x \in (-0,8; 4) \cup (20; \infty)$.

г) $(10x + 3)(17 - x)(x - 5) \ge 0$

Используем метод интервалов. Находим корни, приравнивая левую часть к нулю:

1) $10x + 3 = 0 \Rightarrow 10x = -3 \Rightarrow x_1 = -0,3$

2) $17 - x = 0 \Rightarrow x_2 = 17$

3) $x - 5 = 0 \Rightarrow x_3 = 5$

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-0,3$, $5$, $17$. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными.

Определим знак выражения $f(x) = (10x + 3)(17 - x)(x - 5)$ в каждом из интервалов. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=20$:

$f(20) = (10 \cdot 20 + 3)(17 - 20)(20 - 5) = (203)(-3)(15)$. Результат отрицательный.

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки на интервалах чередуются. Двигаясь справа налево, получаем: - на $(17; \infty)$, + на $(5; 17)$, - на $(-0,3; 5)$, + на $(-\infty; -0,3)$.

Нам нужно решить неравенство $\ge 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "+" и включаем сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,3] \cup [5; 17]$.

352. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) $(x^2 - 16)(x + 17) > 0$

Разложим левую часть неравенства на множители. Выражение $x^2 - 16$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.

Подставим разложение в исходное неравенство:

$(x - 4)(x + 4)(x + 17) > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 4)(x + 17) = 0$.

Корнями являются значения $x$, при которых хотя бы один из множителей равен нулю: $x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$; $x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$; $x + 17 = 0 \Rightarrow x_3 = -17$.

Отметим эти корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-17$, $-4$, $4$. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -17)$, $(-17; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$.

При $x=5$: $(5 - 4)(5 + 4)(5 + 17) = 1 \cdot 9 \cdot 22 = 198 > 0$. Значит, в интервале $(4; \infty)$ выражение положительно.

Все корни имеют нечетную кратность (равную 1), поэтому при переходе через каждый корень знак выражения будет меняться. Расставим знаки в интервалах справа налево: +, -, +, -.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше нуля ($>0$), то есть интервалы со знаком "+".

Это интервалы $(-17; -4)$ и $(4; \infty)$.

Ответ: $x \in (-17; -4) \cup (4; \infty)$.

б) $(x - \frac{2}{3})(x^2 - 121) < 0$

Разложим на множители выражение $x^2 - 121$, используя формулу разности квадратов: $x^2 - 121 = x^2 - 11^2 = (x - 11)(x + 11)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - \frac{2}{3})(x - 11)(x + 11) < 0$.

Найдем корни уравнения $(x - \frac{2}{3})(x - 11)(x + 11) = 0$.

Корни: $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = 11$, $x_3 = -11$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-11$, $\frac{2}{3}$, $11$. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -11)$, $(-11; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 11)$ и $(11; \infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(11; \infty)$, взяв пробную точку $x=12$:

$(12 - \frac{2}{3})(12 - 11)(12 + 11) > 0$. Знак "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($<0$), то есть интервалы со знаком "-".

Это интервалы $(-\infty; -11)$ и $(\frac{2}{3}; 11)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (\frac{2}{3}; 11)$.

в) $x^3 - 25x < 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 25) < 0$.

Затем разложим на множители разность квадратов $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.

Неравенство примет вид:

$x(x - 5)(x + 5) < 0$.

Найдем корни уравнения $x(x - 5)(x + 5) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$, $x_3 = -5$.

Отметим корни на числовой прямой: $-5$, $0$, $5$. Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; \infty)$.

Определим знак в интервале $(5; \infty)$, взяв $x=6$: $6(6 - 5)(6 + 5) > 0$. Знак "+".

Знаки в интервалах чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$), то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(0; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (0; 5)$.

г) $x^3 - 0.01x > 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 0.01) > 0$.

Разложим разность квадратов $x^2 - 0.01 = x^2 - (0.1)^2 = (x - 0.1)(x + 0.1)$.

Неравенство примет вид:

$x(x - 0.1)(x + 0.1) > 0$.

Корни уравнения $x(x - 0.1)(x + 0.1) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 0.1$, $x_3 = -0.1$.

Отметим корни на числовой прямой: $-0.1$, $0$, $0.1$. Интервалы: $(-\infty; -0.1)$, $(-0.1; 0)$, $(0; 0.1)$ и $(0.1; \infty)$.

Определим знак в интервале $(0.1; \infty)$, взяв $x=1$: $1(1 - 0.1)(1 + 0.1) > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$), то есть со знаком "+".

Это интервалы $(-0.1; 0)$ и $(0.1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-0.1; 0) \cup (0.1; \infty)$.

д) $(x^2 - 9)(x^2 - 1) > 0$

Разложим оба множителя как разности квадратов:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$;

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Неравенство принимает вид:

$(x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0$.

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$, $x_3 = 1$, $x_4 = -1$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-3$, $-1$, $1$, $3$. Они разбивают прямую на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; \infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(3; \infty)$, взяв $x=4$: $(4 - 3)(4 + 3)(4 - 1)(4 + 1) > 0$. Знак "+".

Знаки в интервалах чередуются: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$), то есть со знаком "+".

Это интервалы $(-\infty; -3)$, $(-1; 1)$ и $(3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 1) \cup (3; \infty)$.

е) $(x^2 - 15x)(x^2 - 36) < 0$

Разложим на множители каждую скобку:

Первая скобка: $x^2 - 15x = x(x - 15)$.

Вторая скобка (разность квадратов): $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$.

Неравенство принимает вид:

$x(x - 15)(x - 6)(x + 6) < 0$.

Корни уравнения $x(x - 15)(x - 6)(x + 6) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 15$, $x_3 = 6$, $x_4 = -6$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-6$, $0$, $6$, $15$. Они разбивают прямую на пять интервалов: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 6)$, $(6; 15)$ и $(15; \infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале $(15; \infty)$, взяв $x=16$: $16(16 - 15)(16 - 6)(16 + 6) > 0$. Знак "+".

Знаки в интервалах чередуются: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля ($<0$), то есть со знаком "-".

Это интервалы $(-6; 0)$ и $(6; 15)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (6; 15)$.

353. Решите неравенство:

а)

Дано неравенство $(x^2 + 17)(x - 6)(x + 2) < 0$.

Рассмотрим множитель $(x^2 + 17)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 17 \ge 17$. Это означает, что выражение $x^2 + 17$ всегда положительно.

Так как $(x^2 + 17) > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$(x - 6)(x + 2) < 0$

Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 6)$ и $(6, \infty)$.

График функции $y = (x - 6)(x + 2)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это интервал, где $y < 0$, то есть $(-2, 6)$.

Ответ: $x \in (-2, 6)$

б)

Дано неравенство $(2x^2 + 1)x(x - 4) > 0$.

Рассмотрим множитель $(2x^2 + 1)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $2x^2 \ge 0$, и, следовательно, $2x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение $2x^2 + 1$ всегда положительно.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $(2x^2 + 1)$, знак неравенства при этом не изменится:

$x(x - 4) > 0$

Решим это квадратичное неравенство. Корни уравнения $x(x - 4) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти корни разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, \infty)$.

График функции $y = x(x - 4)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства — это объединение интервалов, где $y > 0$, то есть $(-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$

в)

Дано неравенство $(x - 1)^2(x - 24) < 0$.

Рассмотрим множитель $(x - 1)^2$. Это выражение всегда неотрицательно, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Неравенство строгое ($<0$), поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

При $x \neq 1$ множитель $(x - 1)^2$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, другой множитель $(x - 24)$ должен быть отрицательным.

Таким образом, мы решаем систему из двух условий:

$\begin{cases} x - 24 < 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < 24$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть меньше 24, но не равен 1.

Решение можно записать в виде объединения двух интервалов: $(-\infty, 1) \cup (1, 24)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, 24)$

г)

Дано неравенство $(x + 7)(x - 4)^2(x - 21) > 0$.

Рассмотрим множитель $(x - 4)^2$. Это выражение всегда неотрицательно: $(x - 4)^2 \ge 0$.

Неравенство строгое ($>0$), поэтому левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что все множители должны быть отличны от нуля:

$x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$

$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$

$x - 21 \neq 0 \Rightarrow x \neq 21$

При $x \neq 4$ множитель $(x - 4)^2$ всегда положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, не меняя знака неравенства. При этом нужно помнить об условии $x \neq 4$.

Получаем неравенство: $(x + 7)(x - 21) > 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x + 7)(x - 21) = 0$ равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 21$.

График функции $y = (x + 7)(x - 21)$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

Следовательно, решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, -7) \cup (21, \infty)$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 4$. Число 4 не входит в полученное множество решений, так как оно находится в интервале $(-7, 21)$. Поэтому дополнительно исключать ничего не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (21, \infty)$

354. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{4}{\sqrt{(3x-1)(6x+1)}}$

Область определения функции находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго больше нуля. Это требование объединяет два условия: знаменатель не может быть равен нулю, и подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Таким образом, необходимо решить неравенство:

$(3x-1)(6x+1) > 0$

Для решения этого квадратичного неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(3x-1)(6x+1) = 0$.

$3x-1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{3}$

$6x+1 = 0 \implies 6x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{6}$

Отметим найденные корни на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{6})$, $(-\frac{1}{6}; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

Определим знак выражения $(3x-1)(6x+1)$ на каждом интервале. Графиком функции $f(x) = (3x-1)(6x+1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $3 \cdot 6 = 18 > 0$). Следовательно, выражение положительно на крайних интервалах (вне корней) и отрицательно на среднем интервале (между корнями).

Неравенство $(3x-1)(6x+1) > 0$ выполняется, когда $x$ принадлежит интервалам, где выражение положительно. Это интервалы $(-\infty; -\frac{1}{6})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$. Объединение этих интервалов и является областью определения функции. Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

б) $y = \frac{7}{\sqrt{(11x+2)(x-4)}}$

Аналогично предыдущему пункту, область определения функции задается условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$(11x+2)(x-4) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(11x+2)(x-4) = 0$, чтобы использовать метод интервалов.

$11x+2 = 0 \implies 11x = -2 \implies x_1 = -\frac{2}{11}$

$x-4 = 0 \implies x_2 = 4$

Нанесем точки $x_1 = -\frac{2}{11}$ и $x_2 = 4$ на числовую ось. Они делят ее на три интервала: $(-\infty; -\frac{2}{11})$, $(-\frac{2}{11}; 4)$ и $(4; +\infty)$.

График функции $f(x) = (11x+2)(x-4)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $11 > 0$). Это означает, что выражение положительно на интервалах слева и справа от корней и отрицательно между ними.

Следовательно, неравенство $(11x+2)(x-4) > 0$ истинно для интервалов $(-\infty; -\frac{2}{11})$ и $(4; +\infty)$. Это и есть искомая область определения функции. Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{11}) \cup (4; +\infty)$.