Страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

319. Решите уравнение x³ = x двумя способами: графическим и аналитическим.

аналитическим:
Исходное уравнение:
$x^3 = x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни уравнения:
1) $x = 0$
2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
3) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

графическим:
Чтобы решить уравнение $x^3 = x$ графически, нужно рассмотреть две функции: $y = x^3$ и $y = x$. Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих функций.
1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат, симметрична относительно начала координат и проходит, например, через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
2. Построим график функции $y = x$. Это прямая линия, которая является биссектрисой первой и третьей координатных четвертей. Она проходит через начало координат под углом 45° к оси Ox.
Построим оба графика в одной системе координат:

На графике видно, что кривая $y = x^3$ и прямая $y = x$ пересекаются в трех точках. Найдем их координаты:
- Первая точка пересечения: $(-1, -1)$
- Вторая точка пересечения: $(0, 0)$
- Третья точка пересечения: $(1, 1)$
Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

320. С помощью графиков выясните, сколько решений может иметь уравнение x³ + ax + b = 0 при различных значениях a и b.

Для определения количества решений уравнения $x^3 + ax + b = 0$ воспользуемся графическим методом. Количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 + ax + b$ с осью абсцисс (осью Ox).

Форма графика этой функции зависит от значения параметра $a$. Параметр $b$ отвечает за сдвиг графика по вертикали. Исследуем функцию $f(x) = x^3 + ax + b$ с помощью производной, чтобы найти её промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная функции: $f'(x) = (x^3 + ax + b)' = 3x^2 + a$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от знака параметра $a$.

Случай 1: $a \geq 0$

Если $a \geq 0$, то производная $f'(x) = 3x^2 + a$ всегда неотрицательна, так как $x^2 \geq 0$. Если $a>0$, то $f'(x)>0$ для любого $x$. Если $a=0$, то $f'(x) = 3x^2 \geq 0$, причём производная равна нулю только в одной точке $x=0$. В обоих подслучаях ($a > 0$ и $a = 0$) функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

График монотонно возрастающей функции может пересечь любую горизонтальную прямую (в частности, ось Ox) только в одной точке. Следовательно, при $a \geq 0$ уравнение $x^3 + ax + b = 0$ всегда имеет ровно одно решение при любом значении $b$.

Случай 2: $a < 0$

Если $a < 0$, то уравнение для нахождения критических точек $f'(x) = 0$ принимает вид $3x^2 + a = 0$, или $x^2 = -a/3$. Поскольку $a < 0$, то $-a/3 > 0$, и уравнение имеет два корня: $x_1 = -\sqrt{-a/3}$ и $x_2 = \sqrt{-a/3}$.

Это точки локального экстремума функции $f(x)$: в точке $x_1$ будет локальный максимум, а в точке $x_2$ — локальный минимум. Наличие двух экстремумов означает, что график функции имеет характерную "волну". Количество пересечений такого графика с осью Ox зависит от значений функции в точках экстремума, то есть от $y_{max} = f(x_1)$ и $y_{min} = f(x_2)$, которые, в свою очередь, зависят от параметра $b$ (так как он сдвигает весь график вверх или вниз).

Возможны три варианта:

- Одно решение: если оба экстремума (максимум и минимум) лежат по одну сторону от оси Ox. График пересекает ось Ox только один раз. Это происходит, когда произведение значений в экстремумах $y_{max} \cdot y_{min} > 0$.

- Два решения: если один из экстремумов лежит на оси Ox. В этом случае график касается оси Ox в точке экстремума и пересекает ее в другой точке. Это происходит, когда $y_{max} \cdot y_{min} = 0$.

- Три решения: если экстремумы лежат по разные стороны от оси Ox. В этом случае график пересекает ось Ox в трех различных точках. Это происходит, когда $y_{max} \cdot y_{min} < 0$.

Условия на параметры $a$ и $b$ можно выразить через знак выражения $4a^3 + 27b^2$. Количество решений равно одному, двум или трем, когда это выражение соответственно больше нуля, равно нулю или меньше нуля.

Таким образом, при $a<0$ количество решений может быть равно одному, двум или трем.

Ответ:
Уравнение $x^3 + ax + b = 0$ может иметь:
- одно действительное решение (например, при $a \ge 0$);
- два действительных решения (когда график касается оси Ox, например, для $x^3 - 3x + 2 = 0$);
- три действительных решения (когда график пересекает ось Ox в трех точках, например, для $x^3 - 3x = 0$).
Следовательно, в зависимости от значений параметров $a$ и $b$, уравнение может иметь одно, два или три решения.

321. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

а) Данное уравнение: $(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24$.
Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 6x$. Тогда уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 5t = 24$
$t^2 - 5t - 24 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-24$. Следовательно, корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1) При $t = 8$:
$x^2 + 6x = 8$
$x^2 + 6x - 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.
2) При $t = -3$:
$x^2 + 6x = -3$
$x^2 + 6x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -3 \pm \sqrt{6}$.

Ответ: $-3 \pm \sqrt{17}; -3 \pm \sqrt{6}$.

б) Данное уравнение: $(x^2 - 2x - 5)^2 - 2(x^2 - 2x - 5) = 3$.
Введем замену: пусть $t = x^2 - 2x - 5$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 2t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение $-3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 3$:
$x^2 - 2x - 5 = 3$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
2) При $t = -1$:
$x^2 - 2x - 5 = -1$
$x^2 - 2x - 4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Ответ: $-2; 4; 1 \pm \sqrt{5}$.

в) Данное уравнение: $(x^2 + 3x - 25)^2 - 2(x^2 + 3x - 25) = -7$.
Пусть $t = x^2 + 3x - 25$. Тогда получим уравнение:
$t^2 - 2t = -7$
$t^2 - 2t + 7 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение относительно $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) Данное уравнение: $(y + 2)^4 - (y + 2)^2 = 12$.
Введем замену: пусть $t = (y + 2)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:
$t^2 - t = 12$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение $-12$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим $t_1 = 4$:
$(y + 2)^2 = 4$
$y + 2 = \pm\sqrt{4}$
$y + 2 = \pm 2$
Отсюда получаем два решения:
1) $y + 2 = 2 \Rightarrow y_1 = 0$.
2) $y + 2 = -2 \Rightarrow y_2 = -4$.

Ответ: $-4; 0$.

д) Данное уравнение: $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) = 3$.
Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$t(t + 2) = 3$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 1$:
$x^2 + 2x = 1$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
2) При $t = -3$:
$x^2 + 2x = -3$
$x^2 + 2x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-1 \pm \sqrt{2}$.

е) Данное уравнение: $(x^2 - x - 16)(x^2 - x + 2) = 88$.
Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение примет вид:
$(t - 16)(t + 2) = 88$
$t^2 + 2t - 16t - 32 = 88$
$t^2 - 14t - 120 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 = 26^2$.
Корни для $t$: $t = \frac{14 \pm 26}{2}$.
$t_1 = \frac{14 + 26}{2} = 20$, $t_2 = \frac{14 - 26}{2} = -6$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 20$:
$x^2 - x = 20$
$x^2 - x - 20 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.
2) При $t = -6$:
$x^2 - x = -6$
$x^2 - x + 6 = 0$
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-4; 5$.

ж) Данное уравнение: $(2x^2 + 7x - 8)(2x^2 + 7x - 3) - 6 = 0$.
Пусть $t = 2x^2 + 7x$. Уравнение преобразуется к виду:
$(t - 8)(t - 3) - 6 = 0$
$t^2 - 3t - 8t + 24 - 6 = 0$
$t^2 - 11t + 18 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а произведение $18$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену.
1) При $t = 9$:
$2x^2 + 7x = 9$
$2x^2 + 7x - 9 = 0$
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
Корни: $x = \frac{-7 \pm 11}{4}$.
$x_1 = \frac{-7 + 11}{4} = 1$, $x_2 = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{18}{4} = -4.5$.
2) При $t = 2$:
$2x^2 + 7x = 2$
$2x^2 + 7x - 2 = 0$
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 49 + 16 = 65$.
Корни: $x_{3,4} = \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.

Ответ: $-4.5; 1; \frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$.

322. Решите уравнение:

а) y⁷ – y⁶ + y = 1;

б) y⁷ + y⁶ – 27y = 27.

а) $y^7 - y^6 + y = 1$

Для решения уравнения перенесем все его члены в левую часть:

$y^7 - y^6 + y - 1 = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(y^7 - y^6) + (y - 1) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $y^6$:

$y^6(y - 1) + 1(y - 1) = 0$

Теперь можно вынести за скобку общий для обоих слагаемых множитель $(y - 1)$:

$(y - 1)(y^6 + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. $y - 1 = 0$

Отсюда находим первый корень: $y = 1$.

2. $y^6 + 1 = 0$

$y^6 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в шестую), является неотрицательным числом, то есть $y^6 \geq 0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $y=1$.

б) $y^7 + y^6 - 27y = 27$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0$

Используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(y^7 + y^6) - (27y + 27) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой — $y^6$, из второй — 27:

$y^6(y + 1) - 27(y + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:

$(y + 1)(y^6 - 27) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $y + 1 = 0$

Отсюда находим первый корень: $y = -1$.

2. $y^6 - 27 = 0$

$y^6 = 27$

Чтобы найти $y$, извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень корня четная, мы получим два действительных решения:

$y = \pm\sqrt[6]{27}$

Упростим выражение $\sqrt[6]{27}$. Так как $27 = 3^3$, мы можем записать:

$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^\frac{3}{6} = 3^\frac{1}{2} = \sqrt{3}$

Таким образом, мы получаем еще два корня: $y = \sqrt{3}$ и $y = -\sqrt{3}$.

В итоге, у данного уравнения три действительных корня.

Ответ: $y_1 = -1, y_2 = -\sqrt{3}, y_3 = \sqrt{3}$.

323. Решите уравнение:

а) $2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0$

Для решения данного уравнения применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем члены с коэффициентом 2 и остальные члены:

$(2x^7 + 2x^4 + 2x) + (x^6 + x^3 + 1) = 0$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x^6 + x^3 + 1) + 1 \cdot (x^6 + x^3 + 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x^6 + x^3 + 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(2x + 1)(x^6 + x^3 + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $2x + 1 = 0$

Из этого уравнения находим $x$:

$2x = -1$

$x = -1/2$

2) $x^6 + x^3 + 1 = 0$

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $x^3$. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^3$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 + y + 1 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение $y^2 + y + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что и уравнение $x^6 + x^3 + 1 = 0$ также не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $-1/2$.

б) $x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0$

Для решения этого уравнения также используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^7 - 2x^6) + (2x^4 - 4x^3) + (x - 2) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^6(x - 2) + 2x^3(x - 2) + 1(x - 2) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 2)$:

$(x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 2 = 0$

Отсюда получаем первый корень:

$x = 2$

2) $x^6 + 2x^3 + 1 = 0$

Выражение в левой части этого уравнения представляет собой полный квадрат. Его можно записать в виде:

$(x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot 1 + 1^2 = 0$

Что эквивалентно:

$(x^3 + 1)^2 = 0$

Это уравнение выполняется, только если выражение в скобках равно нулю:

$x^3 + 1 = 0$

$x^3 = -1$

Извлекая кубический корень, находим второй действительный корень:

$x = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; 2$.

324. Найдите сумму корней биквадратного уравнения:

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Особенностью такого уравнения является то, что оно содержит только четные степени переменной. Это означает, что функция $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ является четной, то есть $f(x) = f(-x)$ для любого $x$.
Из этого свойства следует, что если $x_0$ является действительным корнем уравнения (при $x_0 \ne 0$), то и $-x_0$ также является действительным корнем. Таким образом, ненулевые действительные корни биквадратного уравнения всегда появляются парами $(x_0, -x_0)$, сумма которых равна $x_0 + (-x_0) = 0$. Если $x=0$ является корнем, то он не влияет на сумму.
Следовательно, сумма всех действительных корней биквадратного уравнения всегда равна нулю, при условии, что у уравнения есть хотя бы один действительный корень.
Для решения задачи найдем корни каждого уравнения, чтобы убедиться в их существовании, и затем найдем их сумму.

а) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, нас интересуют только неотрицательные значения $t$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:$t^2 - 9t + 18 = 0$.
Найдем корни этого уравнения, используя теорему Виета. Сумма корней равна 9, а их произведение равно 18. Следовательно, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.
Оба корня ($3$ и $6$) положительны, поэтому мы можем найти действительные корни для $x$.
1) $x^2 = 3 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$.
2) $x^2 = 6 \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{6}$.
Уравнение имеет четыре действительных корня: $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$, $-\sqrt{6}$.
Найдем их сумму: $\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) + \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$.
Ответ: 0

б) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 3t - 10 = 0$.
Найдем его корни. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$t = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.
Поскольку $t = x^2$ должно быть неотрицательным, корень $t_2 = -5$ не дает действительных решений для $x$. Рассматриваем только $t_1 = 2$.
$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Действительные корни уравнения: $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$.
Сумма корней: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$.
Ответ: 0

в) $4x^4 - 12x^2 + 1 = 0$
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $4t^2 - 12t + 1 = 0$.
Найдем его корни. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 144 - 16 = 128$.
$t = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$.
$t_1 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$ и $t_2 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$.
Оба корня положительны, так как $3 > 2\sqrt{2}$ (поскольку $9 > 8$).
Следовательно, уравнение имеет четыре действительных корня:
1) $x^2 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}}$.
2) $x^2 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}}$.
Корни образуют две пары противоположных чисел. Их сумма равна 0.
Ответ: 0

г) $12y^4 - y^2 - 1 = 0$
Сделаем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $12t^2 - t - 1 = 0$.
Найдем его корни. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$.
$t = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{1 \pm 7}{24}$.
$t_1 = \frac{1 + 7}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
$t_2 = \frac{1 - 7}{24} = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4}$.
Поскольку $t$ должно быть неотрицательным, корень $t_2 = -1/4$ не дает действительных решений. Рассматриваем только $t_1 = 1/3$.
$y^2 = \frac{1}{3} \implies y = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Действительные корни уравнения: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Сумма корней: $\frac{1}{\sqrt{3}} + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$.
Ответ: 0

325. Является ли число:

а) 3 + 5 корнем биквадратного уравнения x⁴ – 6x² + 3 = 0;

б) 5 - 2 корнем биквадратного уравнения x⁴ – 10x² + 23 = 0?

а)

Чтобы проверить, является ли число $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$, нужно подставить это значение в уравнение и проверить, обратится ли оно в верное равенство.

Сначала найдем значения $x^2$ и $x^4$ для данного числа:

$x^2 = (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 + \sqrt{5}$

$x^4 = (x^2)^2 = (3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

Теперь подставим найденные значения $x^2$ и $x^4$ в левую часть уравнения:

$x^4 - 6x^2 + 3 = (14 + 6\sqrt{5}) - 6(3 + \sqrt{5}) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$14 + 6\sqrt{5} - 18 - 6\sqrt{5} + 3 = (14 - 18 + 3) + (6\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) = -1 + 0 = -1$

В результате подстановки мы получили -1, а не 0. Так как $-1 \neq 0$, равенство не выполняется.

Ответ: нет, число $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ не является корнем уравнения $x^4 - 6x^2 + 3 = 0$.

б)

Чтобы проверить, является ли число $x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}$ корнем биквадратного уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$, выполним аналогичную подстановку.

Найдем значения $x^2$ и $x^4$:

$x^2 = (\sqrt{5 - \sqrt{2}})^2 = 5 - \sqrt{2}$

$x^4 = (x^2)^2 = (5 - \sqrt{2})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$

Теперь подставим найденные значения в левую часть уравнения:

$x^4 - 10x^2 + 23 = (27 - 10\sqrt{2}) - 10(5 - \sqrt{2}) + 23$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$27 - 10\sqrt{2} - 50 + 10\sqrt{2} + 23 = (27 - 50 + 23) + (-10\sqrt{2} + 10\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

В результате подстановки мы получили 0, что соответствует правой части уравнения. Равенство $0=0$ является верным.

Ответ: да, число $\sqrt{5 - \sqrt{2}}$ является корнем уравнения $x^4 - 10x^2 + 23 = 0$.

326. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^4 - 20x^2 + 64$

Это биквадратный трёхчлен. Для его разложения на множители введём замену переменной. Пусть $y = x^2$. Тогда трёхчлен принимает вид квадратного трёхчлена:

$y^2 - 20y + 64$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 20y + 64 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Разложим квадратный трёхчлен на множители: $(y - 16)(y - 4)$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $y$:

$(x^2 - 16)(x^2 - 4)$

Каждый из полученных множителей можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^2 - 4^2)(x^2 - 2^2) = (x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 4)(x + 4)(x - 2)(x + 2)$.

б) $x^4 - 17x^2 + 16$

Сделаем замену $y = x^2$. Получим квадратное уравнение $y^2 - 17y + 16 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 17, а их произведение равно 16. Легко подобрать корни: $y_1 = 16$ и $y_2 = 1$.

Следовательно, разложение для $y$ имеет вид: $(y - 16)(y - 1)$.

Выполним обратную замену:

$(x^2 - 16)(x^2 - 1)$

Применяя формулу разности квадратов к каждому множителю, получаем:

$(x - 4)(x + 4)(x - 1)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4)$.

в) $x^4 - 5x^2 - 36$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $y^2 - 5y - 36 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Найдём корни:

$y_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9$

$y_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4$

Разложение для $y$: $(y - 9)(y - (-4)) = (y - 9)(y + 4)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 9)(x^2 + 4)$

Первый множитель является разностью квадратов, а второй — суммой квадратов, которая не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 4)$.

г) $x^4 - 3x^2 - 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $y^2 - 3y - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение -4. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Разложение для $y$: $(y - 4)(y - (-1)) = (y - 4)(y + 1)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$

Раскладываем первый множитель как разность квадратов:

$(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)$.

д) $9x^4 - 10x^2 + 1$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $9y^2 - 10y + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Найдём корни:

$y_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$y_2 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Разложение по формуле $a(y-y_1)(y-y_2)$: $9(y - 1)(y - \frac{1}{9})$.

Внесём множитель 9 во вторую скобку: $(y - 1)(9y - 1)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 1)(9x^2 - 1)$

Оба множителя являются разностью квадратов:

$(x - 1)(x + 1)(3x - 1)(3x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(3x - 1)(3x + 1)$.

е) $4x^4 - 17x^2 + 4$

Пусть $y = x^2$. Получаем уравнение $4y^2 - 17y + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Найдём корни:

$y_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Разложение: $4(y - 4)(y - \frac{1}{4})$.

Внесём множитель 4 во вторую скобку: $(y - 4)(4y - 1)$.

Обратная замена:

$(x^2 - 4)(4x^2 - 1)$

Оба множителя являются разностью квадратов:

$(x - 2)(x + 2)(2x - 1)(2x + 1)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(2x - 1)(2x + 1)$.

327. Решите уравнение:

а) $\frac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0$

Дробное рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$y^2 - 16 \neq 0$

$y^2 \neq 16$

Следовательно, $y \neq 4$ и $y \neq -4$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$3y^3 + 12y^2 - 27y - 108 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 3:

$y^3 + 4y^2 - 9y - 36 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(y^3 + 4y^2) - (9y + 36) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$y^2(y + 4) - 9(y + 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y + 4)$:

$(y + 4)(y^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Либо $y + 4 = 0$, откуда $y = -4$.

Либо $y^2 - 9 = 0$, откуда $y^2 = 9$, то есть $y = 3$ или $y = -3$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($y \neq 4$ и $y \neq -4$).

Корень $y = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корни $y = 3$ и $y = -3$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -3; 3.

б) $\frac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0$

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Найдем ОДЗ, для этого знаменатель не должен быть равен нулю:

$y^3 - 36y \neq 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y^2 - 36) \neq 0$

$y(y-6)(y+6) \neq 0$

Отсюда получаем, что $y \neq 0$, $y \neq 6$ и $y \neq -6$.

2. Приравняем числитель к нулю:

$y^3 + 6y^2 - y - 6 = 0$

Разложим на множители левую часть уравнения методом группировки:

$(y^3 + 6y^2) - (y + 6) = 0$

$y^2(y + 6) - 1(y + 6) = 0$

$(y + 6)(y^2 - 1) = 0$

$(y + 6)(y - 1)(y + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Либо $y + 6 = 0$, откуда $y = -6$.

Либо $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$.

Либо $y + 1 = 0$, откуда $y = -1$.

3. Соотнесем полученные корни с ОДЗ ($y \neq 0$, $y \neq 6$, $y \neq -6$).

Корень $y = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Корни $y = 1$ и $y = -1$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 1.

328. При каких значениях x разность дробей $\frac{1}{x+2}$ и $\frac{1}{x+4}$ равна разности дробей $\frac{1}{x+8}$ и $\frac{1}{x+20}$?

Согласно условию задачи, приравняем разность первой пары дробей к разности второй пары. Составим уравнение:

$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$
$x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$
$x+20 \neq 0 \implies x \neq -20$

Упростим обе части уравнения, приведя дроби в каждой части к общему знаменателю.

Левая часть:
$\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+4} = \frac{1 \cdot (x+4) - 1 \cdot (x+2)}{(x+2)(x+4)} = \frac{x+4-x-2}{(x+2)(x+4)} = \frac{2}{(x+2)(x+4)}$

Правая часть:
$\frac{1}{x+8} - \frac{1}{x+20} = \frac{1 \cdot (x+20) - 1 \cdot (x+8)}{(x+8)(x+20)} = \frac{x+20-x-8}{(x+8)(x+20)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{12}{(x+8)(x+20)}$

Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{6}{(x+8)(x+20)}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$1 \cdot (x+8)(x+20) = 6 \cdot (x+2)(x+4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 20x + 8x + 160 = 6(x^2 + 4x + 2x + 8)$
$x^2 + 28x + 160 = 6(x^2 + 6x + 8)$
$x^2 + 28x + 160 = 6x^2 + 36x + 48$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$6x^2 - x^2 + 36x - 28x + 48 - 160 = 0$
$5x^2 + 8x - 112 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-112) = 64 + 2240 = 2304$

Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-8 + 48}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$
$x_2 = \frac{-8 - 48}{2 \cdot 5} = \frac{-56}{10} = -5.6$

Оба найденных значения $x=4$ и $x=-5.6$ не противоречат области допустимых значений. Следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $4; -5.6$.