Номер 319, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 3. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 319, страница 105.

Условие.

319. Решите уравнение x³ = x двумя способами: графическим и аналитическим.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

аналитическим:
Исходное уравнение:
$x^3 = x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни уравнения:
1) $x = 0$
2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
3) $x + 1 = 0 \implies x = -1$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

графическим:
Чтобы решить уравнение $x^3 = x$ графически, нужно рассмотреть две функции: $y = x^3$ и $y = x$. Корнями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков этих функций.
1. Построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат, симметрична относительно начала координат и проходит, например, через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.
2. Построим график функции $y = x$. Это прямая линия, которая является биссектрисой первой и третьей координатных четвертей. Она проходит через начало координат под углом 45° к оси Ox.
Построим оба графика в одной системе координат:

На графике видно, что кривая $y = x^3$ и прямая $y = x$ пересекаются в трех точках. Найдем их координаты:
- Первая точка пересечения: $(-1, -1)$
- Вторая точка пересечения: $(0, 0)$
- Третья точка пересечения: $(1, 1)$
Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.