Номер 313, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 313, страница 104.

Условие.

313. Найдите корень уравнения x² - 13x -5 - x = - 5 - x - 30. Если оно имеет два корня, то в ответе укажите больший из них.

Решение 1.

Решение 8.

Дано уравнение:

$$x^2 - 13x - \sqrt{5 - x} = -\sqrt{5 - x} - 30$$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$$5 - x \ge 0$$

Решая это неравенство, получаем:

$$x \le 5$$

Следовательно, любой корень исходного уравнения должен быть меньше или равен 5.

Теперь упростим уравнение. Мы видим, что член $-\sqrt{5-x}$ присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем прибавить $\sqrt{5-x}$ к обеим частям, в результате чего эти члены взаимно уничтожатся:

$$x^2 - 13x - \sqrt{5 - x} + \sqrt{5 - x} = -\sqrt{5 - x} + \sqrt{5 - x} - 30$$

$$x^2 - 13x = -30$$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$$x^2 - 13x + 30 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Согласно теореме, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$$x_1 + x_2 = 13$$

$$x_1 \cdot x_2 = 30$$

Подбором находим, что корнями являются числа 3 и 10.

$$x_1 = 3$$

$$x_2 = 10$$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le 5$).

1. Проверка корня $x_1 = 3$:

$3 \le 5$. Неравенство верное, значит, $x = 3$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверка корня $x_2 = 10$:

$10 \le 5$. Неравенство неверное, значит, $x = 10$ является посторонним корнем и не является решением.

Таким образом, уравнение имеет только один корень: $x = 3$. Согласно условию задачи, если корней два, нужно указать больший. Так как корень всего один, то он и идет в ответ.

Ответ: 3