Номер 311, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 311, страница 104.

Условие.

311. Докажите, что если число m является корнем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0, то обратное ему число также является корнем этого уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дано уравнение $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$.

Пусть число $m$ является корнем этого уравнения. Это означает, что при подстановке $x = m$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a = 0$ (1)

Нам необходимо доказать, что число, обратное $m$, то есть $1/m$, также является корнем этого уравнения.

Для начала, убедимся, что корень $m$ не может быть равен нулю. Если предположить, что $m = 0$, то подставив это значение в исходное уравнение, получим:

$a \cdot 0^4 + b \cdot 0^3 + c \cdot 0^2 + b \cdot 0 + a = 0$

$0 + 0 + 0 + 0 + a = 0$

$a = 0$

Это противоречит условию задачи, в котором указано, что $a \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $m \neq 0$. Раз $m$ не равно нулю, то для него существует обратное число $1/m$.

Теперь подставим $x = 1/m$ в левую часть исходного уравнения, чтобы проверить, будет ли она равна нулю:

$a\left(\frac{1}{m}\right)^4 + b\left(\frac{1}{m}\right)^3 + c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$\frac{a}{m^4} + \frac{b}{m^3} + \frac{c}{m^2} + \frac{b}{m} + a$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $m^4$ (мы уже доказали, что $m^4 \neq 0$):

$\frac{a + bm + cm^2 + bm^3 + am^4}{m^4}$

Рассмотрим числитель полученной дроби: $a + bm + cm^2 + bm^3 + am^4$. Переставив слагаемые, получим $am^4 + bm^3 + cm^2 + bm + a$.

Из равенства (1) мы знаем, что это выражение равно нулю. Таким образом, вся дробь принимает вид:

$\frac{0}{m^4} = 0$

Мы получили, что при подстановке $x = 1/m$ в уравнение левая часть обращается в ноль. Это означает, что $1/m$ также является корнем уравнения. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.