Номер 316, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 316, страница 104.

Условие.

316. Найдите корни уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$
В левой части уравнения дважды применим формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала преобразуем произведение первых двух скобок:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь уравнение выглядит так:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = 25a^2 - 16$.
Снова применяем формулу разности квадратов для левой части:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.
Получаем уравнение:
$a^4 - 16 = 25a^2 - 16$.
Прибавим 16 к обеим частям уравнения:
$a^4 = 25a^2$.
Перенесем все члены в левую часть и приравняем к нулю:
$a^4 - 25a^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:
$a^2(a^2 - 25) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:
1) $a^2 = 0 \implies a_1 = 0$.
2) $a^2 - 25 = 0 \implies a^2 = 25 \implies a_2 = 5, a_3 = -5$.
Ответ: 0; -5; 5.

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$
Аналогично предыдущему пункту, применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ к левой части уравнения.
Преобразуем произведение первых двух множителей:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 6x^2 - 1$.
Ещё раз применим формулу разности квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Уравнение принимает вид:
$x^4 - 1 = 6x^2 - 1$.
Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
$x^4 = 6x^2$.
Перенесём все в левую часть:
$x^4 - 6x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 6) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$.
2) $x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 6 \implies x_2 = \sqrt{6}, x_3 = -\sqrt{6}$.
Ответ: 0; $-\sqrt{6}$; $\sqrt{6}$.