Номер 315, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Дополнительные упражнения к главе 3 - номер 315, страница 104.

Условие.

315. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^5 - x^3 = 0$

Для решения этого уравнения вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два уравнения:

1) $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 1)(x + 1) = 0$. Отсюда получаем еще два корня: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) $x^6 = 4x^4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^6 - 4x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x^4$ за скобки:

$x^4(x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 4 = 0$. Это разность квадратов: $(x - 2)(x + 2) = 0$. Отсюда получаем два корня: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ и $x + 2 = 0 \implies x = -2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2; 0; 2$.

в) $0,5x^3 = 32x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$0,5x^3 - 32x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0,5x^2 - 32) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x = 0$.

2) $0,5x^2 - 32 = 0$.

$0,5x^2 = 32$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 = 64$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{64}$, откуда $x = 8$ и $x = -8$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-8; 0; 8$.

г) $0,2x^4 = 4x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$0,2x^4 - 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(0,2x^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $0,2x^2 - 4 = 0$.

$0,2x^2 = 4$

Разделим обе части на 0,2:

$x^2 = \frac{4}{0,2} = \frac{4}{2/10} = \frac{40}{2} = 20$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{20}$. Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Отсюда $x = 2\sqrt{5}$ и $x = -2\sqrt{5}$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-2\sqrt{5}; 0; 2\sqrt{5}$.