Номер 308, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 308, страница 104.
№308 (с. 104)
Условие. №308 (с. 104)
скриншот условия

308. Решите уравнение:
а) x³ + 11x – 108 = 0;
б) x⁵ + 6x + 44 = 0.
Решение 1. №308 (с. 104)


Решение 2. №308 (с. 104)


Решение 3. №308 (с. 104)

Решение 4. №308 (с. 104)

Решение 5. №308 (с. 104)

Решение 7. №308 (с. 104)


Решение 8. №308 (с. 104)
а) $x^3 + 11x - 108 = 0$
Решим данное кубическое уравнение. Сначала попробуем найти целочисленные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если у уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа -108.
Делители числа 108: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ...$
Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:
При $x=1: 1^3 + 11(1) - 108 = 1 + 11 - 108 = -96 \neq 0$.
При $x=2: 2^3 + 11(2) - 108 = 8 + 22 - 108 = -78 \neq 0$.
При $x=3: 3^3 + 11(3) - 108 = 27 + 33 - 108 = -48 \neq 0$.
При $x=4: 4^3 + 11(4) - 108 = 64 + 44 - 108 = 108 - 108 = 0$.
Таким образом, $x=4$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 11x - 108$ делится на $(x-4)$ без остатка.
Выполним разложение на множители методом группировки:
$x^3 + 11x - 108 = x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 16x + 27x - 108$
$= x^2(x - 4) + 4x(x - 4) + 27(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 4x + 27)$.
Теперь уравнение принимает вид:
$(x - 4)(x^2 + 4x + 27) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:
1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
2) $x^2 + 4x + 27 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 16 - 108 = -92$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.
Доказать единственность корня можно также с помощью производной. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 11x - 108$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 + 11$. Так как $x^2 \ge 0$, то $f'(x) > 0$ для всех действительных $x$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает, а значит, может пересекать ось абсцисс не более одного раза.
Ответ: $4$.
б) $x^5 + 6x + 44 = 0$
Для решения этого уравнения рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 6x + 44$ и исследуем ее на монотонность.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^5 + 6x + 44)' = 5x^4 + 6$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ (то есть $x^4 \ge 0$).
Следовательно, $5x^4 \ge 0$, а значит $f'(x) = 5x^4 + 6 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Строго возрастающая функция может принимать значение ноль не более одного раза. Это значит, что уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного действительного корня.
Попробуем найти этот корень методом подбора среди целых делителей свободного члена (числа 44).
Делители числа 44: $±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44$.
Проверим $x = -2$:
$f(-2) = (-2)^5 + 6(-2) + 44 = -32 - 12 + 44 = -44 + 44 = 0$.
Мы нашли корень $x=-2$. Так как мы доказали, что действительный корень может быть только один, то это и есть единственное решение уравнения.
Ответ: $-2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 308 расположенного на странице 104 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №308 (с. 104), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.