Номер 308, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 308, страница 104.

Условие.

308. Решите уравнение:

а) x³ + 11x – 108 = 0;

б) x⁵ + 6x + 44 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^3 + 11x - 108 = 0$

Решим данное кубическое уравнение. Сначала попробуем найти целочисленные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если у уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа -108.

Делители числа 108: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ...$

Проверим некоторые из них подстановкой в уравнение:

При $x=1: 1^3 + 11(1) - 108 = 1 + 11 - 108 = -96 \neq 0$.

При $x=2: 2^3 + 11(2) - 108 = 8 + 22 - 108 = -78 \neq 0$.

При $x=3: 3^3 + 11(3) - 108 = 27 + 33 - 108 = -48 \neq 0$.

При $x=4: 4^3 + 11(4) - 108 = 64 + 44 - 108 = 108 - 108 = 0$.

Таким образом, $x=4$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 + 11x - 108$ делится на $(x-4)$ без остатка.

Выполним разложение на множители методом группировки:

$x^3 + 11x - 108 = x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 16x + 27x - 108$

$= x^2(x - 4) + 4x(x - 4) + 27(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 4x + 27)$.

Теперь уравнение принимает вид:

$(x - 4)(x^2 + 4x + 27) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

2) $x^2 + 4x + 27 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 16 - 108 = -92$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Доказать единственность корня можно также с помощью производной. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 11x - 108$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 + 11$. Так как $x^2 \ge 0$, то $f'(x) > 0$ для всех действительных $x$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает, а значит, может пересекать ось абсцисс не более одного раза.

Ответ: $4$.

б) $x^5 + 6x + 44 = 0$

Для решения этого уравнения рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 6x + 44$ и исследуем ее на монотонность.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + 6x + 44)' = 5x^4 + 6$.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ (то есть $x^4 \ge 0$).

Следовательно, $5x^4 \ge 0$, а значит $f'(x) = 5x^4 + 6 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может принимать значение ноль не более одного раза. Это значит, что уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного действительного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора среди целых делителей свободного члена (числа 44).

Делители числа 44: $±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44$.

Проверим $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^5 + 6(-2) + 44 = -32 - 12 + 44 = -44 + 44 = 0$.

Мы нашли корень $x=-2$. Так как мы доказали, что действительный корень может быть только один, то это и есть единственное решение уравнения.

Ответ: $-2$.