Номер 301, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 301, страница 103.

Условие.

301. Из данных чисел

1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 7, –7

выберите те, которые являются корнями уравнения

x⁴ – x³ – 51x² + 49x + 98 = 0.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы определить, какие из данных чисел являются корнями уравнения, нужно подставить каждое из них в уравнение $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ и проверить, обращается ли равенство в верное тождество $0=0$. Обозначим левую часть уравнения как многочлен $P(x)$.

Перед подстановкой воспользуемся ответом на второй вопрос (см. ниже) и исключим из проверки числа $3, -3, 4, -4$. Проверим оставшиеся числа: $1, -1, 2, -2, 7, -7$.

• Проверка для $x = 1$:
  $P(1) = 1^4 - 1^3 - 51 \cdot 1^2 + 49 \cdot 1 + 98 = 1 - 1 - 51 + 49 + 98 = 96$.
  Поскольку $96 \neq 0$, число 1 не является корнем уравнения.

• Проверка для $x = -1$:
  $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 51 \cdot (-1)^2 + 49 \cdot (-1) + 98 = 1 - (-1) - 51 \cdot 1 - 49 + 98 = 1 + 1 - 51 - 49 + 98 = 2 - 100 + 98 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число -1 является корнем уравнения.

• Проверка для $x = 2$:
  $P(2) = 2^4 - 2^3 - 51 \cdot 2^2 + 49 \cdot 2 + 98 = 16 - 8 - 51 \cdot 4 + 98 + 98 = 8 - 204 + 196 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число 2 является корнем уравнения.

• Проверка для $x = -2$:
  $P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 51 \cdot (-2)^2 + 49 \cdot (-2) + 98 = 16 - (-8) - 51 \cdot 4 - 98 + 98 = 16 + 8 - 204 = 24 - 204 = -180$.
  Поскольку $-180 \neq 0$, число -2 не является корнем уравнения.

• Проверка для $x = 7$:
  $P(7) = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 98$.
  Можно заметить, что $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$. Подставим эти значения в выражение:
  $7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + (7^2) \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
  Сокращаем $-7^3$ и $7^3$:
  $7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число 7 является корнем уравнения.

• Проверка для $x = -7$:
  $P(-7) = (-7)^4 - (-7)^3 - 51 \cdot (-7)^2 + 49 \cdot (-7) + 98 = 7^4 - (-7^3) - 51 \cdot 7^2 - 49 \cdot 7 + 98$.
  Используем те же замены $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 7^2$:
  $7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^2 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
  Сокращаем $7^3$ и $-7^3$:
  $7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число -7 является корнем уравнения.

Таким образом, из предложенного списка корнями уравнения являются четыре числа.

Ответ: Корнями уравнения являются числа -1, 2, 7, -7.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Для многочлена с целыми коэффициентами вида $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ существует теорема о рациональных корнях. Следствие из этой теоремы гласит, что если уравнение имеет целые корни, то они обязаны быть делителями свободного члена $a_0$.

В нашем уравнении $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ все коэффициенты целые, а свободный член $a_0 = 98$.

Найдём все целые делители числа 98: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14, \pm49, \pm98$.

Теперь сравним этот список делителей с исходным списком чисел: $\{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7\}$.

Числа $3, -3, 4, -4$ не являются делителями числа 98. Следовательно, они не могут быть целыми корнями данного уравнения, и их можно исключить из проверки сразу, не выполняя подстановку.

Ответ: Можно сразу исключить числа 3, -3, 4, -4.