Номер 301, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 301, страница 103.

№301 (с. 103)
Условие. №301 (с. 103)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301, Условие

301. Из данных чисел

1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 7, –7

выберите те, которые являются корнями уравнения

x⁴ – x³ – 51x² + 49x + 98 = 0.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Решение 1. №301 (с. 103)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №301 (с. 103)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301, Решение 2
Решение 3. №301 (с. 103)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301, Решение 3
Решение 4. №301 (с. 103)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301, Решение 4
Решение 5. №301 (с. 103)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301, Решение 5
Решение 7. №301 (с. 103)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 103, номер 301,  Решение 7
Решение 8. №301 (с. 103)

Для того чтобы определить, какие из данных чисел являются корнями уравнения, нужно подставить каждое из них в уравнение $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ и проверить, обращается ли равенство в верное тождество $0=0$. Обозначим левую часть уравнения как многочлен $P(x)$.

Перед подстановкой воспользуемся ответом на второй вопрос (см. ниже) и исключим из проверки числа $3, -3, 4, -4$. Проверим оставшиеся числа: $1, -1, 2, -2, 7, -7$.

  • Проверка для $x = 1$:
    $P(1) = 1^4 - 1^3 - 51 \cdot 1^2 + 49 \cdot 1 + 98 = 1 - 1 - 51 + 49 + 98 = 96$.
    Поскольку $96 \neq 0$, число 1 не является корнем уравнения.

  • Проверка для $x = -1$:
    $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 51 \cdot (-1)^2 + 49 \cdot (-1) + 98 = 1 - (-1) - 51 \cdot 1 - 49 + 98 = 1 + 1 - 51 - 49 + 98 = 2 - 100 + 98 = 0$.
    Поскольку $0 = 0$, число -1 является корнем уравнения.

  • Проверка для $x = 2$:
    $P(2) = 2^4 - 2^3 - 51 \cdot 2^2 + 49 \cdot 2 + 98 = 16 - 8 - 51 \cdot 4 + 98 + 98 = 8 - 204 + 196 = 0$.
    Поскольку $0 = 0$, число 2 является корнем уравнения.

  • Проверка для $x = -2$:
    $P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 51 \cdot (-2)^2 + 49 \cdot (-2) + 98 = 16 - (-8) - 51 \cdot 4 - 98 + 98 = 16 + 8 - 204 = 24 - 204 = -180$.
    Поскольку $-180 \neq 0$, число -2 не является корнем уравнения.

  • Проверка для $x = 7$:
    $P(7) = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 98$.
    Можно заметить, что $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$. Подставим эти значения в выражение:
    $7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + (7^2) \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
    Сокращаем $-7^3$ и $7^3$:
    $7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
    Поскольку $0 = 0$, число 7 является корнем уравнения.

  • Проверка для $x = -7$:
    $P(-7) = (-7)^4 - (-7)^3 - 51 \cdot (-7)^2 + 49 \cdot (-7) + 98 = 7^4 - (-7^3) - 51 \cdot 7^2 - 49 \cdot 7 + 98$.
    Используем те же замены $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 7^2$:
    $7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^2 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
    Сокращаем $7^3$ и $-7^3$:
    $7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
    Поскольку $0 = 0$, число -7 является корнем уравнения.

Таким образом, из предложенного списка корнями уравнения являются четыре числа.

Ответ: Корнями уравнения являются числа -1, 2, 7, -7.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Для многочлена с целыми коэффициентами вида $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ существует теорема о рациональных корнях. Следствие из этой теоремы гласит, что если уравнение имеет целые корни, то они обязаны быть делителями свободного члена $a_0$.

В нашем уравнении $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ все коэффициенты целые, а свободный член $a_0 = 98$.

Найдём все целые делители числа 98: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14, \pm49, \pm98$.

Теперь сравним этот список делителей с исходным списком чисел: $\{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7\}$.

Числа $3, -3, 4, -4$ не являются делителями числа 98. Следовательно, они не могут быть целыми корнями данного уравнения, и их можно исключить из проверки сразу, не выполняя подстановку.

Ответ: Можно сразу исключить числа 3, -3, 4, -4.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 301 расположенного на странице 103 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №301 (с. 103), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.