Номер 301, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 301, страница 103.
№301 (с. 103)
Условие. №301 (с. 103)
скриншот условия

301. Из данных чисел
1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 7, –7
выберите те, которые являются корнями уравнения
x⁴ – x³ – 51x² + 49x + 98 = 0.
Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?
Решение 1. №301 (с. 103)


Решение 2. №301 (с. 103)

Решение 3. №301 (с. 103)

Решение 4. №301 (с. 103)

Решение 5. №301 (с. 103)

Решение 7. №301 (с. 103)

Решение 8. №301 (с. 103)
Для того чтобы определить, какие из данных чисел являются корнями уравнения, нужно подставить каждое из них в уравнение $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ и проверить, обращается ли равенство в верное тождество $0=0$. Обозначим левую часть уравнения как многочлен $P(x)$.
Перед подстановкой воспользуемся ответом на второй вопрос (см. ниже) и исключим из проверки числа $3, -3, 4, -4$. Проверим оставшиеся числа: $1, -1, 2, -2, 7, -7$.
Проверка для $x = 1$:
$P(1) = 1^4 - 1^3 - 51 \cdot 1^2 + 49 \cdot 1 + 98 = 1 - 1 - 51 + 49 + 98 = 96$.
Поскольку $96 \neq 0$, число 1 не является корнем уравнения.Проверка для $x = -1$:
$P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 51 \cdot (-1)^2 + 49 \cdot (-1) + 98 = 1 - (-1) - 51 \cdot 1 - 49 + 98 = 1 + 1 - 51 - 49 + 98 = 2 - 100 + 98 = 0$.
Поскольку $0 = 0$, число -1 является корнем уравнения.Проверка для $x = 2$:
$P(2) = 2^4 - 2^3 - 51 \cdot 2^2 + 49 \cdot 2 + 98 = 16 - 8 - 51 \cdot 4 + 98 + 98 = 8 - 204 + 196 = 0$.
Поскольку $0 = 0$, число 2 является корнем уравнения.Проверка для $x = -2$:
$P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 51 \cdot (-2)^2 + 49 \cdot (-2) + 98 = 16 - (-8) - 51 \cdot 4 - 98 + 98 = 16 + 8 - 204 = 24 - 204 = -180$.
Поскольку $-180 \neq 0$, число -2 не является корнем уравнения.Проверка для $x = 7$:
$P(7) = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 98$.
Можно заметить, что $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$. Подставим эти значения в выражение:
$7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + (7^2) \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
Сокращаем $-7^3$ и $7^3$:
$7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
Поскольку $0 = 0$, число 7 является корнем уравнения.Проверка для $x = -7$:
$P(-7) = (-7)^4 - (-7)^3 - 51 \cdot (-7)^2 + 49 \cdot (-7) + 98 = 7^4 - (-7^3) - 51 \cdot 7^2 - 49 \cdot 7 + 98$.
Используем те же замены $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 7^2$:
$7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^2 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
Сокращаем $7^3$ и $-7^3$:
$7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
Поскольку $0 = 0$, число -7 является корнем уравнения.
Таким образом, из предложенного списка корнями уравнения являются четыре числа.
Ответ: Корнями уравнения являются числа -1, 2, 7, -7.
Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?
Для многочлена с целыми коэффициентами вида $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ существует теорема о рациональных корнях. Следствие из этой теоремы гласит, что если уравнение имеет целые корни, то они обязаны быть делителями свободного члена $a_0$.
В нашем уравнении $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ все коэффициенты целые, а свободный член $a_0 = 98$.
Найдём все целые делители числа 98: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14, \pm49, \pm98$.
Теперь сравним этот список делителей с исходным списком чисел: $\{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7\}$.
Числа $3, -3, 4, -4$ не являются делителями числа 98. Следовательно, они не могут быть целыми корнями данного уравнения, и их можно исключить из проверки сразу, не выполняя подстановку.
Ответ: Можно сразу исключить числа 3, -3, 4, -4.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 301 расположенного на странице 103 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №301 (с. 103), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.