Номер 296, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 296, страница 97.

Условие.

296. Найдите множество решений неравенства:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Решим неравенство $\frac{x-1}{x-3} > 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя: $x-1 = 0 \implies x = 1$.
2. Находим нули знаменателя (точки разрыва): $x-3 = 0 \implies x = 3$.
3. Отмечаем точки 1 и 3 на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки выколотые (не входят в решение).
4. Определяем знаки выражения на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, \infty)$.
- При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0$. Знак "+".
- При $1 < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2-3} = \frac{1}{-1} = -1 < 0$. Знак "-".
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-1}{4-3} = \frac{3}{1} = 3 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $(3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x+6}{x-5} \le 0$ методом интервалов.
1. Находим нули числителя: $x+6 = 0 \implies x = -6$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.
2. Находим нули знаменателя: $x-5 = 0 \implies x = 5$. Эта точка всегда исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.
3. Отмечаем точки -6 (закрашенная) и 5 (выколотая) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения на интервалах $(-\infty, -6]$, $[-6, 5)$ и $(5, \infty)$.
- При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{-7-5} = \frac{-1}{-12} > 0$. Знак "+".
- При $-6 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{0-5} = -\frac{6}{5} < 0$. Знак "-".
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6+6}{6-5} = 12 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $[-6, 5)$.
Ответ: $x \in [-6, 5)$.

в)

Решим неравенство $\frac{2-x}{x} \ge 0$.
Чтобы было удобнее работать с методом интервалов, преобразуем числитель так, чтобы коэффициент при $x$ был положительным. Для этого вынесем "-1" за скобки в числителе: $\frac{-(x-2)}{x} \ge 0$.
Теперь умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства на противоположный: $\frac{x-2}{x} \le 0$.
1. Нуль числителя: $x-2 = 0 \implies x = 2$. Точка включается в решение ($\le$).
2. Нуль знаменателя: $x = 0$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки 0 (выколотая) и 2 (закрашенная) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{x-2}{x}$ на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2]$ и $[2, \infty)$.
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1-2}{-1} = 3 > 0$. Знак "+".
- При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{1-2}{1} = -1 < 0$. Знак "-".
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{3-2}{3} = \frac{1}{3} > 0$. Знак "+".
5. Нам нужен интервал, где выражение $\frac{x-2}{x}$ меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $(0, 2]$.
Ответ: $x \in (0, 2]$.

г)

Решим неравенство $\frac{3-2x}{x-1} \le 0$.
Преобразуем числитель: $\frac{-(2x-3)}{x-1} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{2x-3}{x-1} \ge 0$.
1. Нуль числителя: $2x-3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$. Точка включается в решение ($\ge$).
2. Нуль знаменателя: $x-1 = 0 \implies x = 1$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки 1 (выколотая) и 1.5 (закрашенная) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{2x-3}{x-1}$ на интервалах $(-\infty, 1)$, $(1, 1.5]$ и $[1.5, \infty)$.
- При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)-3}{0-1} = 3 > 0$. Знак "+".
- При $1 < x < 1.5$ (например, $x=1.2$): $\frac{2(1.2)-3}{1.2-1} = \frac{-0.6}{0.2} = -3 < 0$. Знак "-".
- При $x > 1.5$ (например, $x=2$): $\frac{2(2)-3}{2-1} = 1 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны интервалы, где выражение $\frac{2x-3}{x-1}$ больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty, 1)$ и $[1.5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup [\frac{3}{2}, \infty)$.

д)

Решим неравенство $\frac{7x-2}{1-x} \ge 0$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{7x-2}{-(x-1)} \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{7x-2}{x-1} \le 0$.
1. Нуль числителя: $7x-2=0 \implies x = \frac{2}{7}$. Точка включается в решение ($\le$).
2. Нуль знаменателя: $x-1 = 0 \implies x = 1$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки $\frac{2}{7}$ (закрашенная) и 1 (выколотая) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{7x-2}{x-1}$ на интервалах $(-\infty, \frac{2}{7}]$, $[\frac{2}{7}, 1)$ и $(1, \infty)$.
- При $x < \frac{2}{7}$ (например, $x=0$): $\frac{7(0)-2}{0-1} = 2 > 0$. Знак "+".
- При $\frac{2}{7} < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{7(0.5)-2}{0.5-1} = \frac{1.5}{-0.5} = -3 < 0$. Знак "-".
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{7(2)-2}{2-1} = 12 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужен интервал, где выражение $\frac{7x-2}{x-1}$ меньше или равно нулю (знак "-").
Это интервал $[\frac{2}{7}, 1)$.
Ответ: $x \in [\frac{2}{7}, 1)$.

е)

Решим неравенство $\frac{1-11x}{2x-3} \le 0$.
Преобразуем числитель: $\frac{-(11x-1)}{2x-3} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{11x-1}{2x-3} \ge 0$.
1. Нуль числителя: $11x-1=0 \implies x = \frac{1}{11}$. Точка включается в решение ($\ge$).
2. Нуль знаменателя: $2x-3=0 \implies x = \frac{3}{2}$. Точка исключается.
3. Отмечаем точки $\frac{1}{11}$ (закрашенная) и $\frac{3}{2}$ (выколотая) на числовой оси.
4. Определяем знаки выражения $\frac{11x-1}{2x-3}$ на интервалах $(-\infty, \frac{1}{11}]$, $[\frac{1}{11}, \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}, \infty)$.
- При $x < \frac{1}{11}$ (например, $x=0$): $\frac{11(0)-1}{2(0)-3} = \frac{-1}{-3} > 0$. Знак "+".
- При $\frac{1}{11} < x < \frac{3}{2}$ (например, $x=1$): $\frac{11(1)-1}{2(1)-3} = \frac{10}{-1} = -10 < 0$. Знак "-".
- При $x > \frac{3}{2}$ (например, $x=2$): $\frac{11(2)-1}{2(2)-3} = \frac{21}{1} = 21 > 0$. Знак "+".
5. Нам нужны интервалы, где выражение $\frac{11x-1}{2x-3}$ больше или равно нулю (знак "+").
Это интервалы $(-\infty, \frac{1}{11}]$ и $(\frac{3}{2}, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{11}] \cup (\frac{3}{2}, \infty)$.