Номер 2, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 2, страница 98.

Условие.

2. На примере неравенства (x – 5)(x + 7)(x + 9) ‹ 0 расскажите, как решают неравенства методом интервалов.

Решение 1.

Решение 8.

Метод интервалов — это универсальный способ решения сложных неравенств. Суть метода заключается в следующем: на числовой оси отмечаются точки, в которых выражение в левой части неравенства обращается в ноль (нули функции). Эти точки разбивают ось на интервалы, в каждом из которых выражение сохраняет свой знак (либо положительный, либо отрицательный). Определив знак на каждом интервале, можно выбрать те, которые удовлетворяют условию неравенства.
Рассмотрим этот метод на примере неравенства $(x - 5)(x + 7)(x + 9) < 0$.

Шаг 1. Нахождение нулей функции

Приравниваем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых функция $f(x) = (x - 5)(x + 7)(x + 9)$ может поменять знак.
$(x - 5)(x + 7)(x + 9) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни:
$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$
$x + 7 = 0 \implies x_2 = -7$
$x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Шаг 2. Нанесение нулей на числовую ось

Наносим найденные точки на числовую прямую в порядке возрастания: $-9$, $-7$, $5$.
Так как неравенство строгое ($<0$), сами точки не являются решением, поэтому мы отмечаем их "выколотыми" (пустыми кружками).
Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Шаг 3. Определение знаков на интервалах

Определим знак функции $f(x)$ на каждом интервале. Для этого достаточно проверить знак в одной любой точке из каждого интервала.
• Интервал $(5; +\infty)$: возьмем $x = 10$. $f(10) = (10-5)(10+7)(10+9) = (+)(+)(+) > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-7; 5)$: возьмем $x = 0$. $f(0) = (0-5)(0+7)(0+9) = (-)(+)(+) < 0$. Знак "–".
• Интервал $(-9; -7)$: возьмем $x = -8$. $f(-8) = (-8-5)(-8+7)(-8+9) = (-)(-)(+) > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty; -9)$: возьмем $x = -10$. $f(-10) = (-10-5)(-10+7)(-10+9) = (-)(-)(-) < 0$. Знак "–".
Можно заметить, что знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (каждая скобка возведена в первую степень). Это позволяет, найдя знак в одном интервале, определить остальные.

Шаг 4. Выбор интервалов и запись ответа

Мы решаем неравенство $(x - 5)(x + 7)(x + 9) < 0$, поэтому нам нужны интервалы, на которых функция имеет знак "–".
Из предыдущего шага видно, что это интервалы $(-\infty; -9)$ и $(-7; 5)$.
Объединяем их и записываем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-7; 5)$.