Страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

297. Решите неравенство:

а) Исходное неравенство: $ \frac{x-8}{x+4} > 2 $.
Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю.
$ \frac{x-8}{x+4} - 2 > 0 $
$ \frac{x-8 - 2(x+4)}{x+4} > 0 $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{x-8-2x-8}{x+4} > 0 $
$ \frac{-x-16}{x+4} > 0 $
Чтобы избавиться от знака минус в числителе, умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$ \frac{x+16}{x+4} < 0 $
Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ x+16 = 0 \Rightarrow x = -16 $.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $ x+4 = 0 \Rightarrow x = -4 $.
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Получаем три интервала: $ (-\infty; -16) $, $ (-16; -4) $, $ (-4; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{x+16}{x+4} $ в каждом интервале, подставив любое значение из него.
- На интервале $ (-\infty; -16) $, например $ x=-17 $: $ \frac{-17+16}{-17+4} = \frac{-1}{-13} > 0 $.
- На интервале $ (-16; -4) $, например $ x=-10 $: $ \frac{-10+16}{-10+4} = \frac{6}{-6} < 0 $.
- На интервале $ (-4; +\infty) $, например $ x=0 $: $ \frac{0+16}{0+4} = \frac{16}{4} > 0 $.
Нам нужны значения $ x $, при которых выражение меньше нуля. Этому условию удовлетворяет интервал $ (-16; -4) $.
Ответ: $ x \in (-16; -4) $.

б) Исходное неравенство: $ \frac{3-x}{x-2} < 1 $.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{3-x}{x-2} - 1 < 0 $
$ \frac{3-x - (x-2)}{x-2} < 0 $
$ \frac{3-x-x+2}{x-2} < 0 $
$ \frac{5-2x}{x-2} < 0 $
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 5-2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5 $.
Нуль знаменателя: $ x-2 = 0 \Rightarrow x = 2 $.
Отметим точки 2 и 2.5 на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Получаем интервалы: $ (-\infty; 2) $, $ (2; 2.5) $, $ (2.5; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{5-2x}{x-2} $ на каждом интервале.
- На интервале $ (-\infty; 2) $, например $ x=0 $: $ \frac{5-0}{0-2} = -\frac{5}{2} < 0 $.
- На интервале $ (2; 2.5) $, например $ x=2.1 $: $ \frac{5-2(2.1)}{2.1-2} = \frac{0.8}{0.1} > 0 $.
- На интервале $ (2.5; +\infty) $, например $ x=3 $: $ \frac{5-2(3)}{3-2} = \frac{-1}{1} < 0 $.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $ (-\infty; 2) $ и $ (2.5; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 2) \cup (2.5; +\infty) $.

в) Исходное неравенство: $ \frac{7x-1}{x} > 5 $.
Перенесем 5 в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений: $ x \neq 0 $.
$ \frac{7x-1}{x} - 5 > 0 $
$ \frac{7x-1-5x}{x} > 0 $
$ \frac{2x-1}{x} > 0 $
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 2x-1=0 \Rightarrow x = 0.5 $.
Нуль знаменателя: $ x = 0 $.
Отметим точки 0 и 0.5 на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Получаем интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 0.5) $, $ (0.5; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{2x-1}{x} $ на каждом интервале.
- На интервале $ (-\infty; 0) $, например $ x=-1 $: $ \frac{2(-1)-1}{-1} = \frac{-3}{-1} > 0 $.
- На интервале $ (0; 0.5) $, например $ x=0.1 $: $ \frac{2(0.1)-1}{0.1} = \frac{-0.8}{0.1} < 0 $.
- На интервале $ (0.5; +\infty) $, например $ x=1 $: $ \frac{2(1)-1}{1} = \frac{1}{1} > 0 $.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $ (-\infty; 0) $ и $ (0.5; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty) $.

г) Исходное неравенство: $ \frac{6-2x}{x+4} > 3 $.
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{6-2x}{x+4} - 3 > 0 $
$ \frac{6-2x-3(x+4)}{x+4} > 0 $
$ \frac{6-2x-3x-12}{x+4} > 0 $
$ \frac{-5x-6}{x+4} > 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ \frac{5x+6}{x+4} < 0 $
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 5x+6=0 \Rightarrow 5x=-6 \Rightarrow x = -1.2 $.
Нуль знаменателя: $ x+4=0 \Rightarrow x = -4 $.
Отметим точки -4 и -1.2 на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Получаем интервалы: $ (-\infty; -4) $, $ (-4; -1.2) $, $ (-1.2; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{5x+6}{x+4} $ на каждом интервале.
- На интервале $ (-\infty; -4) $, например $ x=-5 $: $ \frac{5(-5)+6}{-5+4} = \frac{-19}{-1} > 0 $.
- На интервале $ (-4; -1.2) $, например $ x=-2 $: $ \frac{5(-2)+6}{-2+4} = \frac{-4}{2} < 0 $.
- На интервале $ (-1.2; +\infty) $, например $ x=0 $: $ \frac{5(0)+6}{0+4} = \frac{6}{4} > 0 $.
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это $ (-4; -1.2) $.
Ответ: $ x \in (-4; -1.2) $.

298. Решите неравенство:

а)

Решим неравенство $ \frac{5x+4}{x} < 4 $. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{5x+4}{x} - 4 < 0 $

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{5x+4 - 4x}{x} < 0 $

$ \frac{x+4}{x} < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+4=0 \implies x=-4$.

Нуль знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки -4 и 0 на числовую прямую. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения $ \frac{x+4}{x} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; -4)$: возьмем $x=-5$, получим $ \frac{-5+4}{-5} = \frac{-1}{-5} > 0 $.
• Интервал $(-4; 0)$: возьмем $x=-1$, получим $ \frac{-1+4}{-1} = -3 < 0 $.
• Интервал $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$, получим $ \frac{1+4}{1} = 5 > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это интервал $(-4; 0)$.

Ответ: $x \in (-4; 0)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{6x+1}{x+1} > 1 $. ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{6x+1}{x+1} - 1 > 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{6x+1 - (x+1)}{x+1} > 0 $

$ \frac{6x+1 - x - 1}{x+1} > 0 $

$ \frac{5x}{x+1} > 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x=0 \implies x=0$.

Нуль знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$.

Нанесем на числовую прямую выколотые точки -1 и 0.

Определим знаки выражения $ \frac{5x}{x+1} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$, получим $ \frac{5(-2)}{-2+1} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0 $.
• Интервал $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$, получим $ \frac{5(-0.5)}{-0.5+1} = \frac{-2.5}{0.5} = -5 < 0 $.
• Интервал $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$, получим $ \frac{5(1)}{1+1} = \frac{5}{2} > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $ \frac{x}{x-1} \ge 2 $. ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{x}{x-1} - 2 \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x - 2(x-1)}{x-1} \ge 0 $

$ \frac{x - 2x + 2}{x-1} \ge 0 $

$ \frac{-x+2}{x-1} \ge 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x-2}{x-1} \le 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-2=0 \implies x=2$. Точка закрашенная, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$. Точка выколотая, так как на ноль делить нельзя.

Нанесем точки на числовую прямую: 1 (выколотая) и 2 (закрашенная).

Определим знаки выражения $ \frac{x-2}{x-1} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; 1)$: возьмем $x=0$, получим $ \frac{0-2}{0-1} = 2 > 0 $.
• Интервал $(1; 2]$: возьмем $x=1.5$, получим $ \frac{1.5-2}{1.5-1} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0 $.
• Интервал $[2; +\infty)$: возьмем $x=3$, получим $ \frac{3-2}{3-1} = \frac{1}{2} > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (1; 2]$.

г)

Решим неравенство $ \frac{3x-1}{x+2} \ge 1 $. ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{3x-1}{x+2} - 1 \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x-1 - (x+2)}{x+2} \ge 0 $

$ \frac{3x-1-x-2}{x+2} \ge 0 $

$ \frac{2x-3}{x+2} \ge 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x-3=0 \implies x=1.5$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$. Точка выколотая.

Нанесем на числовую прямую точки -2 (выколотая) и 1.5 (закрашенная).

Определим знаки выражения $ \frac{2x-3}{x+2} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, получим $ \frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0 $.
• Интервал $(-2; 1.5]$: возьмем $x=0$, получим $ \frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0 $.
• Интервал $[1.5; +\infty)$: возьмем $x=2$, получим $ \frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1.5; +\infty)$.

299. Напишите уравнение прямой, которая:

а) проходит через начало координат и точку А(0,6; –2,4);

б) пересекает оси координат в точках В(0; 4) и C(–2,5; 0).

а)

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Поскольку прямая проходит через начало координат, точку $(0; 0)$, мы можем подставить эти значения в уравнение:

$0 = k \cdot 0 + b$

Из этого следует, что $b = 0$. Уравнение прямой принимает вид $y = kx$.

Теперь используем вторую точку $A(0,6; -2,4)$, через которую проходит прямая, чтобы найти угловой коэффициент $k$. Подставим координаты точки $A$ в уравнение $y = kx$:

$-2,4 = k \cdot 0,6$

Выразим $k$:

$k = \frac{-2,4}{0,6} = -4$

Подставив значение $k$ в уравнение, получаем итоговое уравнение прямой:

$y = -4x$

Ответ: $y = -4x$.

б)

Нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через две точки: $B(0; 4)$ и $C(-2,5; 0)$.

Снова воспользуемся общим уравнением прямой $y = kx + b$.

Точка $B(0; 4)$ является точкой пересечения прямой с осью $Oy$. Координаты этой точки позволяют нам сразу найти коэффициент $b$:

$4 = k \cdot 0 + b$

$b = 4$

Теперь уравнение прямой выглядит так: $y = kx + 4$.

Для нахождения углового коэффициента $k$ используем координаты второй точки $C(-2,5; 0)$. Подставим их в уравнение:

$0 = k \cdot (-2,5) + 4$

Решим это уравнение относительно $k$:

$2,5k = 4$

$k = \frac{4}{2,5} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5} = 1,6$

Теперь у нас есть оба коэффициента: $k = 1,6$ и $b = 4$. Запишем окончательное уравнение прямой:

$y = 1,6x + 4$

Ответ: $y = 1,6x + 4$.

300. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором — 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим объем раствора в первом сосуде как $V_1$ (в литрах), а объем раствора во втором сосуде как $V_2$ (в литрах).

Из условия известно, что в первом сосуде было на 1 литр раствора меньше, чем во втором. Это дает нам первое уравнение:

$V_1 = V_2 - 1$

Далее, рассчитаем количество чистой соли в каждом сосуде. Концентрация — это отношение массы растворенного вещества к общему объему раствора. Масса соли в первом сосуде (с концентрацией 10%, или 0,1) равна:

$S_1 = 0,1 \cdot V_1$

Масса соли во втором сосуде (с концентрацией 20%, или 0,2) равна:

$S_2 = 0,2 \cdot V_2$

Когда растворы слили в третий сосуд, общий объем смеси стал равен сумме объемов исходных растворов:

$V_{общ} = V_1 + V_2$

Общая масса соли в смеси стала равна сумме масс соли из двух сосудов:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 0,1V_1 + 0,2V_2$

Концентрация полученного раствора составляет 16% (или 0,16). Эта концентрация определяется как отношение общей массы соли к общему объему раствора. Это дает нам второе уравнение:

$0,16 = \frac{S_{общ}}{V_{общ}} = \frac{0,1V_1 + 0,2V_2}{V_1 + V_2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $V_1 = V_2 - 1$

2. $0,16(V_1 + V_2) = 0,1V_1 + 0,2V_2$

Подставим выражение для $V_1$ из первого уравнения во второе:

$0,16((V_2 - 1) + V_2) = 0,1(V_2 - 1) + 0,2V_2$

Теперь решим это уравнение относительно $V_2$:

$0,16(2V_2 - 1) = 0,1V_2 - 0,1 + 0,2V_2$

$0,32V_2 - 0,16 = 0,3V_2 - 0,1$

Перенесем все члены с $V_2$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$0,32V_2 - 0,3V_2 = 0,16 - 0,1$

$0,02V_2 = 0,06$

$V_2 = \frac{0,06}{0,02}$

$V_2 = 3$

Итак, объем раствора во втором сосуде составлял 3 литра. Теперь найдем объем раствора в первом сосуде, используя первое уравнение:

$V_1 = V_2 - 1 = 3 - 1 = 2$

Объем раствора в первом сосуде составлял 2 литра.

Проверка:

Соль в первом сосуде: $2 \text{ л} \cdot 10\% = 0,2 \text{ л}$.

Соль во втором сосуде: $3 \text{ л} \cdot 20\% = 0,6 \text{ л}$.

Общий объем смеси: $2 \text{ л} + 3 \text{ л} = 5 \text{ л}$.

Общее количество соли: $0,2 \text{ л} + 0,6 \text{ л} = 0,8 \text{ л}$.

Концентрация смеси: $\frac{0,8 \text{ л}}{5 \text{ л}} = 0,16$, что соответствует 16%.

Решение верное.

Ответ: первоначально в первом сосуде было 2 литра раствора, а во втором — 3 литра раствора.

1. На примере неравенств 3x² + 5x – 2 ‹ 0 и x² + 2x + 6 › 0 расскажите, как можно решить неравенство второй степени, используя свойства графика квадратичной функции.

Для решения неравенства второй степени (квадратного неравенства) вида $ax^2+bx+c > 0$ или $ax^2+bx+c < 0$ удобно использовать графический метод, основанный на свойствах квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$. Графиком этой функции является парабола.

Общий алгоритм решения таков:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку старшего коэффициента $a$. Если $a>0$, ветви направлены вверх. Если $a<0$, ветви направлены вниз.

2. Найти точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox). Для этого нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.

   • Если дискриминант $D=b^2-4ac > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках.
   • Если $D=0$, то уравнение имеет один действительный корень ($x_0$). Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине).
   • Если $D<0$, то уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и полностью находится либо над осью (при $a>0$), либо под осью (при $a<0$).

3. Схематически нарисовать параболу, учитывая направление ее ветвей и точки пересечения с осью Ox (если они есть).

4. По графику определить промежутки, на которых парабола находится выше или ниже оси Ox. Если неравенство имеет вид $ax^2+bx+c > 0$, ищутся промежутки, где график выше оси Ox. Если $ax^2+bx+c < 0$ — где график ниже оси Ox.

5. Записать ответ в виде интервалов. Для строгих неравенств ($<, >$) концы интервалов (корни уравнения) не включаются в решение, и используются круглые скобки. Для нестрогих неравенств ($\le, \ge$) — включаются, и используются квадратные скобки.

Применим этот алгоритм для решения заданных неравенств.

Решение неравенства $3x^2+5x-2 < 0$

1. Рассмотрим функцию $y=3x^2+5x-2$. Ее график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a=3$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $3x^2+5x-2=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках с абсциссами $-2$ и $\frac{1}{3}$.

4. Схематически парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $-2$ и $\frac{1}{3}$.

5. Нам нужно решить неравенство $3x^2+5x-2 < 0$. Это соответствует тем значениям $x$, при которых график функции $y=3x^2+5x-2$ расположен ниже оси Ox. Глядя на схематический чертеж, видим, что это происходит на интервале между корнями.

6. Поскольку неравенство строгое ($<$), сами точки пересечения не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-2; \frac{1}{3})$.

Решение неравенства $x^2+2x+6 > 0$

1. Рассмотрим функцию $y=x^2+2x+6$. Ее график — парабола.

2. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $x^2+2x+6=0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.
Так как $D<0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

4. Парабола с ветвями вверх, не пересекающая ось Ox, целиком расположена в верхней полуплоскости, то есть над осью Ox.

5. Нам нужно решить неравенство $x^2+2x+6 > 0$. Это соответствует тем значениям $x$, при которых график функции $y=x^2+2x+6$ расположен выше оси Ox. Поскольку наша парабола полностью находится над осью Ox, это неравенство выполняется для любых действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. На примере неравенства (x – 5)(x + 7)(x + 9) ‹ 0 расскажите, как решают неравенства методом интервалов.

Метод интервалов — это универсальный способ решения сложных неравенств. Суть метода заключается в следующем: на числовой оси отмечаются точки, в которых выражение в левой части неравенства обращается в ноль (нули функции). Эти точки разбивают ось на интервалы, в каждом из которых выражение сохраняет свой знак (либо положительный, либо отрицательный). Определив знак на каждом интервале, можно выбрать те, которые удовлетворяют условию неравенства.
Рассмотрим этот метод на примере неравенства $(x - 5)(x + 7)(x + 9) < 0$.

Шаг 1. Нахождение нулей функции

Приравниваем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых функция $f(x) = (x - 5)(x + 7)(x + 9)$ может поменять знак.
$(x - 5)(x + 7)(x + 9) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни:
$x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$
$x + 7 = 0 \implies x_2 = -7$
$x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Шаг 2. Нанесение нулей на числовую ось

Наносим найденные точки на числовую прямую в порядке возрастания: $-9$, $-7$, $5$.
Так как неравенство строгое ($<0$), сами точки не являются решением, поэтому мы отмечаем их "выколотыми" (пустыми кружками).
Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Шаг 3. Определение знаков на интервалах

Определим знак функции $f(x)$ на каждом интервале. Для этого достаточно проверить знак в одной любой точке из каждого интервала.
• Интервал $(5; +\infty)$: возьмем $x = 10$. $f(10) = (10-5)(10+7)(10+9) = (+)(+)(+) > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-7; 5)$: возьмем $x = 0$. $f(0) = (0-5)(0+7)(0+9) = (-)(+)(+) < 0$. Знак "–".
• Интервал $(-9; -7)$: возьмем $x = -8$. $f(-8) = (-8-5)(-8+7)(-8+9) = (-)(-)(+) > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-\infty; -9)$: возьмем $x = -10$. $f(-10) = (-10-5)(-10+7)(-10+9) = (-)(-)(-) < 0$. Знак "–".
Можно заметить, что знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (каждая скобка возведена в первую степень). Это позволяет, найдя знак в одном интервале, определить остальные.

Шаг 4. Выбор интервалов и запись ответа

Мы решаем неравенство $(x - 5)(x + 7)(x + 9) < 0$, поэтому нам нужны интервалы, на которых функция имеет знак "–".
Из предыдущего шага видно, что это интервалы $(-\infty; -9)$ и $(-7; 5)$.
Объединяем их и записываем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (-7; 5)$.