Страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

285. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) $(x + 8)(x - 5) > 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 8)(x - 5)$. Для этого приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 8 = 0 \implies x_1 = -8$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми (не входящими в решение).

3. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$. Определим знак выражения $(x + 8)(x - 5)$ в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• При $x = 6$ (из интервала $(5; +\infty)$): $(6 + 8)(6 - 5) = 14 \cdot 1 = 14 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x = 0$ (из интервала $(-8; 5)$): $(0 + 8)(0 - 5) = 8 \cdot (-5) = -40 < 0$. Ставим знак "-".
• При $x = -9$ (из интервала $(-\infty; -8)$): $(-9 + 8)(-9 - 5) = (-1) \cdot (-14) = 14 > 0$. Ставим знак "+".

4. Так как нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля, выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (5; +\infty)$

б) $(x - 14)(x + 10) < 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 14)(x + 10)$.
$x - 14 = 0 \implies x_1 = 14$
$x + 10 = 0 \implies x_2 = -10$

2. Отметим точки $-10$ и $14$ на числовой оси. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки выколотые.

3. Точки делят ось на интервалы: $(-\infty; -10)$, $(-10; 14)$ и $(14; +\infty)$. Определим знаки:

• При $x = 15$ (из интервала $(14; +\infty)$): $(15 - 14)(15 + 10) = 1 \cdot 25 = 25 > 0$. Знак "+".
• При $x = 0$ (из интервала $(-10; 14)$): $(0 - 14)(0 + 10) = -14 \cdot 10 = -140 < 0$. Знак "-".
• При $x = -11$ (из интервала $(-\infty; -10)$): $(-11 - 14)(-11 + 10) = (-25) \cdot (-1) = 25 > 0$. Знак "+".

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля, поэтому выбираем интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (-10; 14)$

в) $(x - 3,5)(x + 8,5) \ge 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x - 3,5)(x + 8,5)$.
$x - 3,5 = 0 \implies x_1 = 3,5$
$x + 8,5 = 0 \implies x_2 = -8,5$

2. Отметим точки $-8,5$ и $3,5$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки будут закрашенными (входящими в решение).

3. Получаем интервалы: $(-\infty; -8,5]$, $[-8,5; 3,5]$ и $[3,5; +\infty)$. Определим знаки:

• При $x = 4$ (из интервала $[3,5; +\infty)$): $(4 - 3,5)(4 + 8,5) = 0,5 \cdot 12,5 > 0$. Знак "+".
• При $x = 0$ (из интервала $[-8,5; 3,5]$): $(0 - 3,5)(0 + 8,5) = -3,5 \cdot 8,5 < 0$. Знак "-".
• При $x = -9$ (из интервала $(-\infty; -8,5]$): $(-9 - 3,5)(-9 + 8,5) = (-12,5) \cdot (-0,5) > 0$. Знак "+".

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю, поэтому выбираем интервалы со знаком "+" и включаем концы этих интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -8,5] \cup [3,5; +\infty)$

г) $\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right) \le 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = \left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x + \frac{1}{8}\right)$.
$x + \frac{1}{3} = 0 \implies x_1 = -\frac{1}{3}$
$x + \frac{1}{8} = 0 \implies x_2 = -\frac{1}{8}$

2. Сравним корни: $-\frac{1}{3} = -\frac{8}{24}$ и $-\frac{1}{8} = -\frac{3}{24}$, следовательно, $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{8}$. Отметим точки $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{8}$ на числовой оси. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки закрашенные.

3. Получаем интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}]$ и $[-\frac{1}{8}; +\infty)$. Определим знаки:

• При $x = 0$ (из интервала $[-\frac{1}{8}; +\infty)$): $(0 + \frac{1}{3})(0 + \frac{1}{8}) = \frac{1}{24} > 0$. Знак "+".
• При $x = -0,2 = -\frac{1}{5}$ (из интервала $[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}]$, т.к. $-\frac{1}{3} \approx -0,33$ и $-\frac{1}{8} = -0,125$): $(-\frac{1}{5} + \frac{1}{3})(-\frac{1}{5} + \frac{1}{8}) = (\frac{-3+5}{15})(\frac{-8+5}{40}) = (\frac{2}{15})(-\frac{3}{40}) < 0$. Знак "-".
• При $x = -1$ (из интервала $(-\infty; -\frac{1}{3}]$): $(-1 + \frac{1}{3})(-1 + \frac{1}{8}) = (-\frac{2}{3})(-\frac{7}{8}) > 0$. Знак "+".

4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю, поэтому выбираем интервал со знаком "-" и включаем его концы.

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{3}; -\frac{1}{8}\right]$

286. Решите неравенство:

а) $(x + 25)(x - 30) < 0$

Данное неравенство является квадратичным. Решим его методом интервалов.

1. Найдем корни соответствующего уравнения $(x + 25)(x - 30) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x + 25 = 0 \implies x_1 = -25$
$x - 30 = 0 \implies x_2 = 30$

2. Отметим эти корни на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<$), точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; -25)$, $(-25; 30)$ и $(30; +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(x + 25)(x - 30)$ на каждом интервале.
Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = (x + 25)(x - 30)$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, функция принимает отрицательные значения между своими корнями.

4. Нам нужно найти решение для $(x + 25)(x - 30) < 0$, то есть найти, где выражение отрицательно. Это интервал между корнями.

Ответ: $(-25; 30)$.

б) $(x + 6)(x - 6) > 0$

Это квадратичное неравенство. Можно заметить, что левая часть является разностью квадратов: $x^2 - 36 > 0$. Решим его методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $(x + 6)(x - 6) = 0$.
$x + 6 = 0 \implies x_1 = -6$
$x - 6 = 0 \implies x_2 = 6$

2. Отметим корни $-6$ и $6$ на числовой прямой. Неравенство строгое ($>$), поэтому точки выколотые. Они делят прямую на интервалы $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$.

3. Определим знаки на интервалах.
Функция $y = (x + 6)(x - 6)$ — парабола с ветвями вверх. Следовательно, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

4. Мы ищем, где $(x + 6)(x - 6) > 0$. Это соответствует интервалам, где функция положительна.

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

в) $\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right) \le 0$

Решим данное квадратичное неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $\left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right) = 0$.
$x - \frac{1}{3} = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$
$x - \frac{1}{5} = 0 \implies x_2 = \frac{1}{5}$

2. Отметим корни на числовой прямой. Заметим, что $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точки будут закрашенными и войдут в решение. Точки делят прямую на интервалы $(-\infty; \frac{1}{5}]$, $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$ и $[\frac{1}{3}; +\infty)$.

3. Определим знаки на интервалах.
Функция $y = \left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{5}\right)$ — парабола с ветвями вверх. Значит, она принимает отрицательные значения между корнями.

4. Мы ищем, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это будет отрезок между корнями, включая сами корни.

Ответ: $\left[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}\right]$.

г) $(x + 0,1)(x + 6,3) \ge 0$

Решим данное квадратичное неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни уравнения $(x + 0,1)(x + 6,3) = 0$.
$x + 0,1 = 0 \implies x_1 = -0,1$
$x + 6,3 = 0 \implies x_2 = -6,3$

2. Отметим корни на числовой прямой. Заметим, что $-6,3 < -0,1$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки будут закрашенными. Они делят прямую на интервалы $(-\infty; -6,3]$, $[-6,3; -0,1]$ и $[-0,1; +\infty)$.

3. Определим знаки на интервалах.
Функция $y = (x + 0,1)(x + 6,3)$ — парабола с ветвями вверх. Следовательно, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

4. Мы ищем, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это соответствует объединению двух лучей, включая их начальные точки.

Ответ: $(-\infty; -6,3] \cup [-0,1; +\infty)$.