Страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

301. Из данных чисел

1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 7, –7

выберите те, которые являются корнями уравнения

x⁴ – x³ – 51x² + 49x + 98 = 0.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Для того чтобы определить, какие из данных чисел являются корнями уравнения, нужно подставить каждое из них в уравнение $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ и проверить, обращается ли равенство в верное тождество $0=0$. Обозначим левую часть уравнения как многочлен $P(x)$.

Перед подстановкой воспользуемся ответом на второй вопрос (см. ниже) и исключим из проверки числа $3, -3, 4, -4$. Проверим оставшиеся числа: $1, -1, 2, -2, 7, -7$.

• Проверка для $x = 1$:
  $P(1) = 1^4 - 1^3 - 51 \cdot 1^2 + 49 \cdot 1 + 98 = 1 - 1 - 51 + 49 + 98 = 96$.
  Поскольку $96 \neq 0$, число 1 не является корнем уравнения.

• Проверка для $x = -1$:
  $P(-1) = (-1)^4 - (-1)^3 - 51 \cdot (-1)^2 + 49 \cdot (-1) + 98 = 1 - (-1) - 51 \cdot 1 - 49 + 98 = 1 + 1 - 51 - 49 + 98 = 2 - 100 + 98 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число -1 является корнем уравнения.

• Проверка для $x = 2$:
  $P(2) = 2^4 - 2^3 - 51 \cdot 2^2 + 49 \cdot 2 + 98 = 16 - 8 - 51 \cdot 4 + 98 + 98 = 8 - 204 + 196 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число 2 является корнем уравнения.

• Проверка для $x = -2$:
  $P(-2) = (-2)^4 - (-2)^3 - 51 \cdot (-2)^2 + 49 \cdot (-2) + 98 = 16 - (-8) - 51 \cdot 4 - 98 + 98 = 16 + 8 - 204 = 24 - 204 = -180$.
  Поскольку $-180 \neq 0$, число -2 не является корнем уравнения.

• Проверка для $x = 7$:
  $P(7) = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 98$.
  Можно заметить, что $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$. Подставим эти значения в выражение:
  $7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + (7^2) \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^3 - 51 \cdot 7^2 + 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
  Сокращаем $-7^3$ и $7^3$:
  $7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^2 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число 7 является корнем уравнения.

• Проверка для $x = -7$:
  $P(-7) = (-7)^4 - (-7)^3 - 51 \cdot (-7)^2 + 49 \cdot (-7) + 98 = 7^4 - (-7^3) - 51 \cdot 7^2 - 49 \cdot 7 + 98$.
  Используем те же замены $49 = 7^2$ и $98 = 2 \cdot 7^2$:
  $7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^2 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 + 7^3 - 51 \cdot 7^2 - 7^3 + 2 \cdot 7^2$.
  Сокращаем $7^3$ и $-7^3$:
  $7^4 - 51 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^2 = 7^4 - 49 \cdot 7^2 = 7^4 - 7^4 = 0$.
  Поскольку $0 = 0$, число -7 является корнем уравнения.

Таким образом, из предложенного списка корнями уравнения являются четыре числа.

Ответ: Корнями уравнения являются числа -1, 2, 7, -7.

Какие из них можно исключить сразу, не подставляя их в уравнение?

Для многочлена с целыми коэффициентами вида $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ существует теорема о рациональных корнях. Следствие из этой теоремы гласит, что если уравнение имеет целые корни, то они обязаны быть делителями свободного члена $a_0$.

В нашем уравнении $x^4 - x^3 - 51x^2 + 49x + 98 = 0$ все коэффициенты целые, а свободный член $a_0 = 98$.

Найдём все целые делители числа 98: $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14, \pm49, \pm98$.

Теперь сравним этот список делителей с исходным списком чисел: $\{1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 7, -7\}$.

Числа $3, -3, 4, -4$ не являются делителями числа 98. Следовательно, они не могут быть целыми корнями данного уравнения, и их можно исключить из проверки сразу, не выполняя подстановку.

Ответ: Можно сразу исключить числа 3, -3, 4, -4.

302. Решите уравнение:

а) $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $p/q$, то $p$ является делителем свободного члена, а $q$ — делителем старшего коэффициента.

В нашем случае свободный член равен 2, а старший коэффициент (при $x^3$) равен 1.

Делители свободного члена (2): $\pm1, \pm2$.

Делители старшего коэффициента (1): $\pm1$.

Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2$.

Проверим эти значения путем подстановки в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 - 4(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 4 + 3 + 2 = 2 \neq 0$.

При $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 - 4 - 3 + 2 = -6 \neq 0$.

При $x = 2$: $2^3 - 4(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$.

Таким образом, $x_1 = 2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ делится нацело на двучлен $(x - 2)$. Выполним деление многочленов (например, "уголком"):

$(x^3 - 4x^2 + 3x + 2) : (x - 2) = x^2 - 2x - 1$.

Теперь исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x - 2)(x^2 - 2x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. У нас есть два случая:

1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.

2) $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, мы нашли еще два корня: $x_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_3 = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$.

б) $x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0$

Для решения этого уравнения четвертой степени также применим теорему о рациональных корнях.

Свободный член равен 12, старший коэффициент равен 1.

Возможные рациональные корни — это целые делители числа 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Начнем проверку:

При $x = 1$: $1^4 + 2(1)^3 - 7(1)^2 - 8(1) + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0$. Корень найден: $x_1 = 1$.

Продолжим проверку, чтобы найти другие корни.

При $x = 2$: $2^4 + 2(2)^3 - 7(2)^2 - 8(2) + 12 = 16 + 16 - 28 - 16 + 12 = 0$. Корень найден: $x_2 = 2$.

Поскольку мы нашли два корня, $x=1$ и $x=2$, многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x - 2)$, а значит, и на их произведение: $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$.

Разделим исходный многочлен на $x^2 - 3x + 2$:

$(x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x^2 - 3x + 2) = x^2 + 5x + 6$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 5x + 6) = 0$.

Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$. Его корни мы уже знаем: $x_1 = 1, x_2 = 2$.

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Решим второе квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_3 = -2$ и $x_4 = -3$.

Проверка: $(-2) + (-3) = -5$; $(-2) \cdot (-3) = 6$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $1, 2, -2, -3$.

303. При каких значениях p равны значения двучленов:

а) p³ – p² и 8p – 12;

б) p³ – 3p и p² + 1?

а) $p^3 - p^2$ и $8p - 12$

Чтобы найти значения p, при которых значения двучленов равны, необходимо приравнять их друг к другу:

$p^3 - p^2 = 8p - 12$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение, равное нулю:

$p^3 - p^2 - 8p + 12 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его корни. Один из способов — найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (числа 12). Делители: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12$.

Подставим $p = 2$ в уравнение:

$2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 4 - 16 + 12 = 0$

Поскольку получилось верное равенство, $p = 2$ является корнем уравнения. Это значит, что многочлен $p^3 - p^2 - 8p + 12$ можно разделить на $(p - 2)$ без остатка. Разложим многочлен на множители методом группировки:

$p^3 - 2p^2 + p^2 - 2p - 6p + 12 = 0$

$p^2(p - 2) + p(p - 2) - 6(p - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(p - 2)$ за скобки:

$(p - 2)(p^2 + p - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $p - 2 = 0 \implies p_1 = 2$

2) $p^2 + p - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, найдя два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Это числа -3 и 2. Однако по теореме Виета, сумма корней $p_2+p_3 = -1$, а произведение $p_2 \cdot p_3 = -6$. Этим условиям удовлетворяют числа -3 и 2.

$(p + 3)(p - 2) = 0$

Отсюда получаем корни: $p_2 = -3$ и $p_3 = 2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два различных корня: 2 и -3.

Ответ: $p = -3$, $p = 2$.

б) $p^3 - 3p$ и $p^2 + 1$

Приравняем данные двучлены, чтобы найти искомые значения p:

$p^3 - 3p = p^2 + 1$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$p^3 - p^2 - 3p - 1 = 0$

Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена (-1). Делители: $±1$.

Проверим значение $p = -1$:

$(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) - 1 = -1 - 1 + 3 - 1 = 0$

Значит, $p = -1$ является корнем уравнения. Разложим многочлен на множители, зная, что один из них — это $(p + 1)$. Можно использовать метод группировки или деление столбиком.

$p^3 + p^2 - 2p^2 - 2p - p - 1 = 0$

$p^2(p + 1) - 2p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(p + 1)$ за скобки:

$(p + 1)(p^2 - 2p - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $p + 1 = 0 \implies p_1 = -1$

2) $p^2 - 2p - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$p = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

Упростим корень из 8: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$p = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Таким образом, мы получили еще два корня: $p_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $p_3 = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $p = -1$, $p = 1 - \sqrt{2}$, $p = 1 + \sqrt{2}$.

304. Найдите координаты точек пересечения графика функции y = x³ + 4x² + x – 6 с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции $y = x^3 + 4x^2 + x - 6$ с осями координат, необходимо рассмотреть два случая: пересечение с осью ординат (Oy) и пересечение с осью абсцисс (Ox).

Пересечение с осью ординат (Oy)

Точка пересечения графика с осью ординат имеет абсциссу $x=0$. Чтобы найти соответствующую ординату $y$, подставим значение $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^3 + 4 \cdot 0^2 + 0 - 6 = -6$

Следовательно, график функции пересекает ось Oy в точке с координатами $(0, -6)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox)

Точки пересечения графика с осью абсцисс имеют ординату $y=0$. Чтобы найти соответствующие абсциссы $x$, приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:

$x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

Это кубическое уравнение. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. Свободный член нашего уравнения равен $-6$. Его делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения, подставив это значение:

$1^3 + 4 \cdot 1^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$

Равенство верное, значит $x=1$ — это один из корней уравнения. Теперь мы можем разделить многочлен $x^3 + 4x^2 + x - 6$ на двучлен $(x-1)$ без остатка, чтобы найти другие корни.

$(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x - 1) = x^2 + 5x + 6$

Теперь исходное уравнение можно представить в виде:

$(x - 1)(x^2 + 5x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Один корень мы уже нашли: $x-1=0 \implies x_1=1$. Найдем остальные корни, решив квадратное уравнение:

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $6$. Этим условиям удовлетворяют числа $-2$ и $-3$.

$x_2 = -2$, $x_3 = -3$.

Таким образом, мы нашли три точки пересечения графика с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(-2, 0)$, $(-3, 0)$.

305. Известно, что график функции y = x⁴ – ax³ – 10x² + 80x – 96 пересекает ось x в точке (4; 0). Найдите а и координаты других точек пересечения графика функции с осью x.

Найдите a

По условию, график функции $y = x^4 - ax^3 - 10x^2 + 80x - 96$ пересекает ось $x$ в точке $(4; 0)$. Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = 4$ и $y = 0$ в уравнение: $0 = 4^4 - a \cdot 4^3 - 10 \cdot 4^2 + 80 \cdot 4 - 96$

Выполним вычисления: $0 = 256 - 64a - 10 \cdot 16 + 320 - 96$ $0 = 256 - 64a - 160 + 320 - 96$

Сгруппируем и упростим слагаемые: $0 = (256 - 160 + 320 - 96) - 64a$ $0 = 320 - 64a$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно a: $64a = 320$ $a = \frac{320}{64}$ $a = 5$

Ответ: $a = 5$.

Найдите координаты других точек пересечения графика функции с осью x

После того как мы нашли значение $a=5$, уравнение функции принимает вид: $y = x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$

Точки пересечения графика с осью $x$ имеют ординату $y=0$. Следовательно, для нахождения абсцисс этих точек необходимо решить уравнение: $x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96 = 0$

Из условия задачи мы знаем, что $x = 4$ является одним из корней этого уравнения. Согласно следствию из теоремы Безу, многочлен $x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$ делится на двучлен $(x - 4)$ без остатка. Выполнив деление многочлена на двучлен (например, по схеме Горнера или "в столбик"), мы получим частное $x^3 - x^2 - 14x + 24$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x - 4)(x^3 - x^2 - 14x + 24) = 0$

Теперь нам нужно найти корни кубического уравнения $x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$. Если у этого уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа 24. Проверим один из делителей, например, $x=2$: $2^3 - 2^2 - 14 \cdot 2 + 24 = 8 - 4 - 28 + 24 = 0$ Следовательно, $x = 2$ является корнем.

Теперь мы можем разделить многочлен $x^3 - x^2 - 14x + 24$ на $(x - 2)$. В результате деления получим квадратный трехчлен $x^2 + x - 12$. Исходное уравнение принимает вид: $(x - 4)(x - 2)(x^2 + x - 12) = 0$

Осталось решить квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. Его можно разложить на множители: $(x + 4)(x - 3) = 0$ Отсюда находим последние два корня: $x = -4$ и $x = 3$.

Итак, мы нашли все четыре абсциссы точек пересечения графика с осью $x$: $4, 2, 3, -4$. Корень $x=4$ соответствует точке, данной в условии. Другими точками пересечения являются точки с абсциссами $-4, 2$ и $3$. Координаты этих точек: $(-4; 0)$, $(2; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: $(-4; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.

306. Решите уравнение:

а) 718x⁴ – 717x² – 1 = 0;

б) 206x⁴ – 205x² – 1 = 0.

а) $718x^4 - 717x^2 - 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, мы получим квадратное уравнение относительно $t$:

$718t^2 - 717t - 1 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения можно заметить, что сумма его коэффициентов равна нулю: $a+b+c = 718 + (-717) + (-1) = 0$. В таком случае корнями уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{c}{a}$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{-1}{718}$

Теперь необходимо проверить выполнение условия $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > 0$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{718}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{1}{718} < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Теперь выполним обратную замену для подходящего корня $t=1$:

$x^2 = 1$

Из этого уравнения находим значения $x$:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x_1 = 1, \quad x_2 = -1$

Ответ: $\pm 1$.

б) $206x^4 - 205x^2 - 1 = 0$

Это уравнение также является биквадратным. Сделаем аналогичную замену переменной: $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$206t^2 - 205t - 1 = 0$

Как и в предыдущем случае, сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю: $a+b+c = 206 + (-205) + (-1) = 0$. Поэтому его корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{c}{a}$.

Находим корни для $t$:

$t_1 = 1$

$t_2 = \frac{-1}{206}$

Проверяем корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -\frac{1}{206}$ не подходит, так как он отрицательный.

Выполним обратную замену, используя корень $t=1$:

$x^2 = 1$

Находим окончательные решения для $x$:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x_1 = 1, \quad x_2 = -1$

Ответ: $\pm 1$.

307. Решите уравнение, используя введение новой переменной:

Исходное уравнение: $(x^2 + 8x)^2 - 4(x + 4)^2 = 256$.

Заметим, что выражение во второй скобке связано с выражением в первой. Раскроем квадрат второго слагаемого: $(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.

Подставим это в уравнение:

$(x^2 + 8x)^2 - 4(x^2 + 8x + 16) = 256$.

Теперь очевидна замена переменной. Введем новую переменную $t = x^2 + 8x$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 4(t + 16) = 256$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t^2 - 4t - 64 = 256$

$t^2 - 4t - 64 - 256 = 0$

$t^2 - 4t - 320 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-4) + 36}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$.

$t_2 = \frac{-(-4) - 36}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = 20$:

$x^2 + 8x = 20$

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

$x_1 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

$x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

2. При $t = -16$:

$x^2 + 8x = -16$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Это формула квадрата суммы: $(x + 4)^2 = 0$.

$x + 4 = 0$, откуда $x_3 = -4$.

Ответ: $-10; -4; 2$.

Исходное уравнение: $2(x^2 - 6x)^2 - 120(x - 3)^2 = 8$.

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x - 3)^2 = 4$.

Как и в предыдущем пункте, раскроем квадрат: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(x^2 - 6x)^2 - 60(x^2 - 6x + 9) = 4$.

Введем новую переменную $t = x^2 - 6x$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 60(t + 9) = 4$

Решим полученное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 60t - 540 = 4$

$t^2 - 60t - 544 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-544) = 3600 + 2176 = 5776$.

$\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76$.

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-60) + 76}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 76}{2} = \frac{136}{2} = 68$.

$t_2 = \frac{-(-60) - 76}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 76}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Выполним обратную замену.

1. При $t = 68$:

$x^2 - 6x = 68$

$x^2 - 6x - 68 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-68) = 36 + 272 = 308$.

$\sqrt{D_1} = \sqrt{308} = \sqrt{4 \cdot 77} = 2\sqrt{77}$.

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm 2\sqrt{77}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{77}}{2} = 3 \pm \sqrt{77}$.

2. При $t = -8$:

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Следовательно, корни $x_3 = 2$ и $x_4 = 4$.

Ответ: $3 - \sqrt{77}; 2; 4; 3 + \sqrt{77}$.