Номер 303, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 303, страница 103.
№303 (с. 103)
Условие. №303 (с. 103)
скриншот условия

303. При каких значениях p равны значения двучленов:
а) p³ – p² и 8p – 12;
б) p³ – 3p и p² + 1?
Решение 1. №303 (с. 103)


Решение 2. №303 (с. 103)


Решение 3. №303 (с. 103)

Решение 4. №303 (с. 103)

Решение 5. №303 (с. 103)

Решение 7. №303 (с. 103)

Решение 8. №303 (с. 103)
а) $p^3 - p^2$ и $8p - 12$
Чтобы найти значения p, при которых значения двучленов равны, необходимо приравнять их друг к другу:
$p^3 - p^2 = 8p - 12$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение, равное нулю:
$p^3 - p^2 - 8p + 12 = 0$
Для решения этого уравнения найдем его корни. Один из способов — найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (числа 12). Делители: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12$.
Подставим $p = 2$ в уравнение:
$2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 4 - 16 + 12 = 0$
Поскольку получилось верное равенство, $p = 2$ является корнем уравнения. Это значит, что многочлен $p^3 - p^2 - 8p + 12$ можно разделить на $(p - 2)$ без остатка. Разложим многочлен на множители методом группировки:
$p^3 - 2p^2 + p^2 - 2p - 6p + 12 = 0$
$p^2(p - 2) + p(p - 2) - 6(p - 2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(p - 2)$ за скобки:
$(p - 2)(p^2 + p - 6) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $p - 2 = 0 \implies p_1 = 2$
2) $p^2 + p - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, найдя два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Это числа -3 и 2. Однако по теореме Виета, сумма корней $p_2+p_3 = -1$, а произведение $p_2 \cdot p_3 = -6$. Этим условиям удовлетворяют числа -3 и 2.
$(p + 3)(p - 2) = 0$
Отсюда получаем корни: $p_2 = -3$ и $p_3 = 2$.
Таким образом, исходное уравнение имеет два различных корня: 2 и -3.
Ответ: $p = -3$, $p = 2$.
б) $p^3 - 3p$ и $p^2 + 1$
Приравняем данные двучлены, чтобы найти искомые значения p:
$p^3 - 3p = p^2 + 1$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$p^3 - p^2 - 3p - 1 = 0$
Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена (-1). Делители: $±1$.
Проверим значение $p = -1$:
$(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) - 1 = -1 - 1 + 3 - 1 = 0$
Значит, $p = -1$ является корнем уравнения. Разложим многочлен на множители, зная, что один из них — это $(p + 1)$. Можно использовать метод группировки или деление столбиком.
$p^3 + p^2 - 2p^2 - 2p - p - 1 = 0$
$p^2(p + 1) - 2p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(p + 1)$ за скобки:
$(p + 1)(p^2 - 2p - 1) = 0$
Рассмотрим два случая:
1) $p + 1 = 0 \implies p_1 = -1$
2) $p^2 - 2p - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$p = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$
Упростим корень из 8: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
$p = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$
Таким образом, мы получили еще два корня: $p_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $p_3 = 1 - \sqrt{2}$.
Ответ: $p = -1$, $p = 1 - \sqrt{2}$, $p = 1 + \sqrt{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 303 расположенного на странице 103 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №303 (с. 103), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.