Номер 303, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 303, страница 103.

Условие.

303. При каких значениях p равны значения двучленов:

а) p³ – p² и 8p – 12;

б) p³ – 3p и p² + 1?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $p^3 - p^2$ и $8p - 12$

Чтобы найти значения p, при которых значения двучленов равны, необходимо приравнять их друг к другу:

$p^3 - p^2 = 8p - 12$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение, равное нулю:

$p^3 - p^2 - 8p + 12 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его корни. Один из способов — найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (числа 12). Делители: $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12$.

Подставим $p = 2$ в уравнение:

$2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 4 - 16 + 12 = 0$

Поскольку получилось верное равенство, $p = 2$ является корнем уравнения. Это значит, что многочлен $p^3 - p^2 - 8p + 12$ можно разделить на $(p - 2)$ без остатка. Разложим многочлен на множители методом группировки:

$p^3 - 2p^2 + p^2 - 2p - 6p + 12 = 0$

$p^2(p - 2) + p(p - 2) - 6(p - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(p - 2)$ за скобки:

$(p - 2)(p^2 + p - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $p - 2 = 0 \implies p_1 = 2$

2) $p^2 + p - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, найдя два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Это числа -3 и 2. Однако по теореме Виета, сумма корней $p_2+p_3 = -1$, а произведение $p_2 \cdot p_3 = -6$. Этим условиям удовлетворяют числа -3 и 2.

$(p + 3)(p - 2) = 0$

Отсюда получаем корни: $p_2 = -3$ и $p_3 = 2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два различных корня: 2 и -3.

Ответ: $p = -3$, $p = 2$.

б) $p^3 - 3p$ и $p^2 + 1$

Приравняем данные двучлены, чтобы найти искомые значения p:

$p^3 - 3p = p^2 + 1$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$p^3 - p^2 - 3p - 1 = 0$

Найдем целочисленные корни среди делителей свободного члена (-1). Делители: $±1$.

Проверим значение $p = -1$:

$(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) - 1 = -1 - 1 + 3 - 1 = 0$

Значит, $p = -1$ является корнем уравнения. Разложим многочлен на множители, зная, что один из них — это $(p + 1)$. Можно использовать метод группировки или деление столбиком.

$p^3 + p^2 - 2p^2 - 2p - p - 1 = 0$

$p^2(p + 1) - 2p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(p + 1)$ за скобки:

$(p + 1)(p^2 - 2p - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

1) $p + 1 = 0 \implies p_1 = -1$

2) $p^2 - 2p - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$p = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

Упростим корень из 8: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$p = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Таким образом, мы получили еще два корня: $p_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $p_3 = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $p = -1$, $p = 1 - \sqrt{2}$, $p = 1 + \sqrt{2}$.