Номер 305, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 305, страница 103.

Условие.

305. Известно, что график функции y = x⁴ – ax³ – 10x² + 80x – 96 пересекает ось x в точке (4; 0). Найдите а и координаты других точек пересечения графика функции с осью x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Найдите a

По условию, график функции $y = x^4 - ax^3 - 10x^2 + 80x - 96$ пересекает ось $x$ в точке $(4; 0)$. Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = 4$ и $y = 0$ в уравнение: $0 = 4^4 - a \cdot 4^3 - 10 \cdot 4^2 + 80 \cdot 4 - 96$

Выполним вычисления: $0 = 256 - 64a - 10 \cdot 16 + 320 - 96$ $0 = 256 - 64a - 160 + 320 - 96$

Сгруппируем и упростим слагаемые: $0 = (256 - 160 + 320 - 96) - 64a$ $0 = 320 - 64a$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно a: $64a = 320$ $a = \frac{320}{64}$ $a = 5$

Ответ: $a = 5$.

Найдите координаты других точек пересечения графика функции с осью x

После того как мы нашли значение $a=5$, уравнение функции принимает вид: $y = x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$

Точки пересечения графика с осью $x$ имеют ординату $y=0$. Следовательно, для нахождения абсцисс этих точек необходимо решить уравнение: $x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96 = 0$

Из условия задачи мы знаем, что $x = 4$ является одним из корней этого уравнения. Согласно следствию из теоремы Безу, многочлен $x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 80x - 96$ делится на двучлен $(x - 4)$ без остатка. Выполнив деление многочлена на двучлен (например, по схеме Горнера или "в столбик"), мы получим частное $x^3 - x^2 - 14x + 24$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде: $(x - 4)(x^3 - x^2 - 14x + 24) = 0$

Теперь нам нужно найти корни кубического уравнения $x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$. Если у этого уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа 24. Проверим один из делителей, например, $x=2$: $2^3 - 2^2 - 14 \cdot 2 + 24 = 8 - 4 - 28 + 24 = 0$ Следовательно, $x = 2$ является корнем.

Теперь мы можем разделить многочлен $x^3 - x^2 - 14x + 24$ на $(x - 2)$. В результате деления получим квадратный трехчлен $x^2 + x - 12$. Исходное уравнение принимает вид: $(x - 4)(x - 2)(x^2 + x - 12) = 0$

Осталось решить квадратное уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. Его можно разложить на множители: $(x + 4)(x - 3) = 0$ Отсюда находим последние два корня: $x = -4$ и $x = 3$.

Итак, мы нашли все четыре абсциссы точек пересечения графика с осью $x$: $4, 2, 3, -4$. Корень $x=4$ соответствует точке, данной в условии. Другими точками пересечения являются точки с абсциссами $-4, 2$ и $3$. Координаты этих точек: $(-4; 0)$, $(2; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: $(-4; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 0)$.