Номер 302, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений - номер 302, страница 103.

Условие.

302. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $p/q$, то $p$ является делителем свободного члена, а $q$ — делителем старшего коэффициента.

В нашем случае свободный член равен 2, а старший коэффициент (при $x^3$) равен 1.

Делители свободного члена (2): $\pm1, \pm2$.

Делители старшего коэффициента (1): $\pm1$.

Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2$.

Проверим эти значения путем подстановки в уравнение:

При $x = 1$: $1^3 - 4(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 4 + 3 + 2 = 2 \neq 0$.

При $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 - 4 - 3 + 2 = -6 \neq 0$.

При $x = 2$: $2^3 - 4(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$.

Таким образом, $x_1 = 2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ делится нацело на двучлен $(x - 2)$. Выполним деление многочленов (например, "уголком"):

$(x^3 - 4x^2 + 3x + 2) : (x - 2) = x^2 - 2x - 1$.

Теперь исходное уравнение можно представить в виде произведения:

$(x - 2)(x^2 - 2x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. У нас есть два случая:

1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.

2) $x^2 - 2x - 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Таким образом, мы нашли еще два корня: $x_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_3 = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$.

б) $x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0$

Для решения этого уравнения четвертой степени также применим теорему о рациональных корнях.

Свободный член равен 12, старший коэффициент равен 1.

Возможные рациональные корни — это целые делители числа 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Начнем проверку:

При $x = 1$: $1^4 + 2(1)^3 - 7(1)^2 - 8(1) + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0$. Корень найден: $x_1 = 1$.

Продолжим проверку, чтобы найти другие корни.

При $x = 2$: $2^4 + 2(2)^3 - 7(2)^2 - 8(2) + 12 = 16 + 16 - 28 - 16 + 12 = 0$. Корень найден: $x_2 = 2$.

Поскольку мы нашли два корня, $x=1$ и $x=2$, многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x - 2)$, а значит, и на их произведение: $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$.

Разделим исходный многочлен на $x^2 - 3x + 2$:

$(x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x^2 - 3x + 2) = x^2 + 5x + 6$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 5x + 6) = 0$.

Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$. Его корни мы уже знаем: $x_1 = 1, x_2 = 2$.

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Решим второе квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_3 = -2$ и $x_4 = -3$.

Проверка: $(-2) + (-3) = -5$; $(-2) \cdot (-3) = 6$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $1, 2, -2, -3$.