Номер 302, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
18. Некоторые приёмы решения целых уравнений. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 302, страница 103.
№302 (с. 103)
Условие. №302 (с. 103)
скриншот условия

302. Решите уравнение:

Решение 1. №302 (с. 103)


Решение 2. №302 (с. 103)


Решение 3. №302 (с. 103)

Решение 4. №302 (с. 103)

Решение 7. №302 (с. 103)

Решение 8. №302 (с. 103)
а) $x^3 - 4x^2 + 3x + 2 = 0$
Для решения данного кубического уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $p/q$, то $p$ является делителем свободного члена, а $q$ — делителем старшего коэффициента.
В нашем случае свободный член равен 2, а старший коэффициент (при $x^3$) равен 1.
Делители свободного члена (2): $\pm1, \pm2$.
Делители старшего коэффициента (1): $\pm1$.
Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2$.
Проверим эти значения путем подстановки в уравнение:
При $x = 1$: $1^3 - 4(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 - 4 + 3 + 2 = 2 \neq 0$.
При $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 - 4 - 3 + 2 = -6 \neq 0$.
При $x = 2$: $2^3 - 4(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 16 + 6 + 2 = 0$.
Таким образом, $x_1 = 2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $x^3 - 4x^2 + 3x + 2$ делится нацело на двучлен $(x - 2)$. Выполним деление многочленов (например, "уголком"):
$(x^3 - 4x^2 + 3x + 2) : (x - 2) = x^2 - 2x - 1$.
Теперь исходное уравнение можно представить в виде произведения:
$(x - 2)(x^2 - 2x - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. У нас есть два случая:
1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.
2) $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Таким образом, мы нашли еще два корня: $x_2 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_3 = 1 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$.
б) $x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12 = 0$
Для решения этого уравнения четвертой степени также применим теорему о рациональных корнях.
Свободный член равен 12, старший коэффициент равен 1.
Возможные рациональные корни — это целые делители числа 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Начнем проверку:
При $x = 1$: $1^4 + 2(1)^3 - 7(1)^2 - 8(1) + 12 = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0$. Корень найден: $x_1 = 1$.
Продолжим проверку, чтобы найти другие корни.
При $x = 2$: $2^4 + 2(2)^3 - 7(2)^2 - 8(2) + 12 = 16 + 16 - 28 - 16 + 12 = 0$. Корень найден: $x_2 = 2$.
Поскольку мы нашли два корня, $x=1$ и $x=2$, многочлен делится на $(x - 1)$ и $(x - 2)$, а значит, и на их произведение: $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$.
Разделим исходный многочлен на $x^2 - 3x + 2$:
$(x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x^2 - 3x + 2) = x^2 + 5x + 6$.
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(x^2 - 3x + 2)(x^2 + 5x + 6) = 0$.
Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:
1) $x^2 - 3x + 2 = 0$. Его корни мы уже знаем: $x_1 = 1, x_2 = 2$.
2) $x^2 + 5x + 6 = 0$.
Решим второе квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_3 = -2$ и $x_4 = -3$.
Проверка: $(-2) + (-3) = -5$; $(-2) \cdot (-3) = 6$.
Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения.
Ответ: $1, 2, -2, -3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 302 расположенного на странице 103 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №302 (с. 103), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.