Номер 297, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 297, страница 98.

Условие.

297. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Исходное неравенство: $ \frac{x-8}{x+4} > 2 $.
Для решения дробно-рационального неравенства перенесем все члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю.
$ \frac{x-8}{x+4} - 2 > 0 $
$ \frac{x-8 - 2(x+4)}{x+4} > 0 $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{x-8-2x-8}{x+4} > 0 $
$ \frac{-x-16}{x+4} > 0 $
Чтобы избавиться от знака минус в числителе, умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$ \frac{x+16}{x+4} < 0 $
Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ x+16 = 0 \Rightarrow x = -16 $.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $ x+4 = 0 \Rightarrow x = -4 $.
Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Получаем три интервала: $ (-\infty; -16) $, $ (-16; -4) $, $ (-4; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{x+16}{x+4} $ в каждом интервале, подставив любое значение из него.
- На интервале $ (-\infty; -16) $, например $ x=-17 $: $ \frac{-17+16}{-17+4} = \frac{-1}{-13} > 0 $.
- На интервале $ (-16; -4) $, например $ x=-10 $: $ \frac{-10+16}{-10+4} = \frac{6}{-6} < 0 $.
- На интервале $ (-4; +\infty) $, например $ x=0 $: $ \frac{0+16}{0+4} = \frac{16}{4} > 0 $.
Нам нужны значения $ x $, при которых выражение меньше нуля. Этому условию удовлетворяет интервал $ (-16; -4) $.
Ответ: $ x \in (-16; -4) $.

б) Исходное неравенство: $ \frac{3-x}{x-2} < 1 $.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{3-x}{x-2} - 1 < 0 $
$ \frac{3-x - (x-2)}{x-2} < 0 $
$ \frac{3-x-x+2}{x-2} < 0 $
$ \frac{5-2x}{x-2} < 0 $
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 5-2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5 $.
Нуль знаменателя: $ x-2 = 0 \Rightarrow x = 2 $.
Отметим точки 2 и 2.5 на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.
Получаем интервалы: $ (-\infty; 2) $, $ (2; 2.5) $, $ (2.5; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{5-2x}{x-2} $ на каждом интервале.
- На интервале $ (-\infty; 2) $, например $ x=0 $: $ \frac{5-0}{0-2} = -\frac{5}{2} < 0 $.
- На интервале $ (2; 2.5) $, например $ x=2.1 $: $ \frac{5-2(2.1)}{2.1-2} = \frac{0.8}{0.1} > 0 $.
- На интервале $ (2.5; +\infty) $, например $ x=3 $: $ \frac{5-2(3)}{3-2} = \frac{-1}{1} < 0 $.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $ (-\infty; 2) $ и $ (2.5; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 2) \cup (2.5; +\infty) $.

в) Исходное неравенство: $ \frac{7x-1}{x} > 5 $.
Перенесем 5 в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений: $ x \neq 0 $.
$ \frac{7x-1}{x} - 5 > 0 $
$ \frac{7x-1-5x}{x} > 0 $
$ \frac{2x-1}{x} > 0 $
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 2x-1=0 \Rightarrow x = 0.5 $.
Нуль знаменателя: $ x = 0 $.
Отметим точки 0 и 0.5 на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Получаем интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 0.5) $, $ (0.5; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{2x-1}{x} $ на каждом интервале.
- На интервале $ (-\infty; 0) $, например $ x=-1 $: $ \frac{2(-1)-1}{-1} = \frac{-3}{-1} > 0 $.
- На интервале $ (0; 0.5) $, например $ x=0.1 $: $ \frac{2(0.1)-1}{0.1} = \frac{-0.8}{0.1} < 0 $.
- На интервале $ (0.5; +\infty) $, например $ x=1 $: $ \frac{2(1)-1}{1} = \frac{1}{1} > 0 $.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $ (-\infty; 0) $ и $ (0.5; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (0.5; +\infty) $.

г) Исходное неравенство: $ \frac{6-2x}{x+4} > 3 $.
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{6-2x}{x+4} - 3 > 0 $
$ \frac{6-2x-3(x+4)}{x+4} > 0 $
$ \frac{6-2x-3x-12}{x+4} > 0 $
$ \frac{-5x-6}{x+4} > 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ \frac{5x+6}{x+4} < 0 $
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 5x+6=0 \Rightarrow 5x=-6 \Rightarrow x = -1.2 $.
Нуль знаменателя: $ x+4=0 \Rightarrow x = -4 $.
Отметим точки -4 и -1.2 на числовой прямой. Обе точки выколотые.
Получаем интервалы: $ (-\infty; -4) $, $ (-4; -1.2) $, $ (-1.2; +\infty) $.
Определим знак выражения $ \frac{5x+6}{x+4} $ на каждом интервале.
- На интервале $ (-\infty; -4) $, например $ x=-5 $: $ \frac{5(-5)+6}{-5+4} = \frac{-19}{-1} > 0 $.
- На интервале $ (-4; -1.2) $, например $ x=-2 $: $ \frac{5(-2)+6}{-2+4} = \frac{-4}{2} < 0 $.
- На интервале $ (-1.2; +\infty) $, например $ x=0 $: $ \frac{5(0)+6}{0+4} = \frac{6}{4} > 0 $.
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это $ (-4; -1.2) $.
Ответ: $ x \in (-4; -1.2) $.