Номер 293, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Решение неравенств методом интервалов. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 293, страница 97.

Условие.

293. При каких значениях x имеет смысл выражение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Выражение с квадратным корнем имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
Следовательно, нам нужно решить неравенство:
$(2x + 5)(x - 17) \ge 0$
Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x + 5)(x - 17) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x_1 = -2.5$
$x - 17 = 0 \Rightarrow x_2 = 17$
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -2.5]$, $[-2.5; 17]$ и $[17; +\infty)$. Определим знак выражения $(2x + 5)(x - 17)$ в каждом интервале.
- При $x < -2.5$ (например, $x = -3$): $(2(-3) + 5)(-3 - 17) = (-1)(-20) = 20 > 0$. Знак «+».
- При $-2.5 < x < 17$ (например, $x = 0$): $(2(0) + 5)(0 - 17) = (5)(-17) = -85 < 0$. Знак «-».
- При $x > 17$ (например, $x = 18$): $(2(18) + 5)(18 - 17) = (41)(1) = 41 > 0$. Знак «+».
Так как нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю, мы выбираем интервалы со знаком «+», включая концы интервалов.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -2.5$ или $x \ge 17$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5] \cup [17; +\infty)$.

б) Аналогично пункту а), подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$x(x + 9)(2x - 8) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(x + 9)(2x - 8) = 0$.
$x_1 = 0$
$x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = -9$
$2x - 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x_3 = 4$
Отметим точки $-9, 0, 4$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -9]$, $[-9; 0]$, $[0; 4]$ и $[4; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале.
- При $x < -9$ (например, $x = -10$): $(-10)(-10+9)(2(-10)-8) = (-)(-)(-) = -$.
- При $-9 < x < 0$ (например, $x = -1$): $(-1)(-1+9)(2(-1)-8) = (-)(+)(-) = +$.
- При $0 < x < 4$ (например, $x = 1$): $(1)(1+9)(2(1)-8) = (+)(+)(-) = -$.
- При $x > 4$ (например, $x = 5$): $(5)(5+9)(2(5)-8) = (+)(+)(+) = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак «+»), включая точки, где оно равно нулю.
Это интервалы $[-9; 0]$ и $[4; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-9; 0] \cup [4; +\infty)$.