Номер 292, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Решение неравенств методом интервалов. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 292, страница 97.

Условие.

292. Найдите область определения функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)}$

Область определения функции — это все значения $x$, при которых выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Таким образом, нам необходимо решить неравенство:

$(5 - x)(x + 8) \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем нули (корни) левой части, решив уравнение:

$(5 - x)(x + 8) = 0$

Отсюда получаем два корня: $5 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 5$ и $x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8$.

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(5 - x)(x + 8)$ на каждом интервале, взяв пробную точку из каждого:

• Для интервала $(-\infty; -8)$, возьмем $x = -10$: $(5 - (-10))(-10 + 8) = (15)(-2) = -30$. Знак "минус".
• Для интервала $(-8; 5)$, возьмем $x = 0$: $(5 - 0)(0 + 8) = (5)(8) = 40$. Знак "плюс".
• Для интервала $(5; +\infty)$, возьмем $x = 6$: $(5 - 6)(6 + 8) = (-1)(14) = -14$. Знак "минус".

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалу, где знак "плюс", а также точкам, где выражение равно нулю. Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-8; 5]$.

Ответ: $D(y) = [-8; 5]$.

б) $y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)}$

Аналогично предыдущему пункту, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$(x + 12)(x - 1)(x - 9) \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x + 12)(x - 1)(x - 9) = 0$:

$x_1 = -12$, $x_2 = 1$, $x_3 = 9$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ее на четыре интервала: $(-\infty; -12)$, $(-12; 1)$, $(1; 9)$ и $(9; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x + 12)(x - 1)(x - 9)$ в каждом из интервалов:

• Для интервала $(-\infty; -12)$, возьмем $x = -13$: $(-13 + 12)(-13 - 1)(-13 - 9) = (-1)(-14)(-22) < 0$. Знак "минус".
• Для интервала $(-12; 1)$, возьмем $x = 0$: $(0 + 12)(0 - 1)(0 - 9) = (12)(-1)(-9) > 0$. Знак "плюс".
• Для интервала $(1; 9)$, возьмем $x = 2$: $(2 + 12)(2 - 1)(2 - 9) = (14)(1)(-7) < 0$. Знак "минус".
• Для интервала $(9; +\infty)$, возьмем $x = 10$: $(10 + 12)(10 - 1)(10 - 9) = (22)(9)(1) > 0$. Знак "плюс".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "плюс", а также точки, где выражение равно нулю.

Объединяя эти промежутки, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = [-12; 1] \cup [9; +\infty)$.