Номер 288, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 288, страница 97.

Условие.

288. Найдите, при каких значениях x:

а) произведение (x + 48) (x – 37) (x – 42) положительно;

б) произведение (x + 0,7) (x – 2,8) (x – 9,2) отрицательно.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 48)(x - 37)(x - 42)$ положительно, необходимо решить неравенство:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) > 0$

Для решения этого неравенства применяется метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, то есть точки, в которых произведение обращается в ноль:

$(x + 48)(x - 37)(x - 42) = 0$

Корнями являются значения $x$, при которых один из множителей равен нулю:

$x + 48 = 0 \Rightarrow x_1 = -48$

$x - 37 = 0 \Rightarrow x_2 = 37$

$x - 42 = 0 \Rightarrow x_3 = 42$

Эти точки ($-48, 37, 42$) разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -48)$, $(-48; 37)$, $(37; 42)$ и $(42; +\infty)$.

Далее определим знак произведения в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке:

1. В интервале $(42; +\infty)$ выберем $x=50$: $(50+48)(50-37)(50-42) = (98)(13)(8)$. Все множители положительны, значит, произведение положительно. Знак «+».

2. В интервале $(37; 42)$ выберем $x=40$: $(40+48)(40-37)(40-42) = (88)(3)(-2)$. Произведение отрицательно. Знак «-».

3. В интервале $(-48; 37)$ выберем $x=0$: $(0+48)(0-37)(0-42) = (48)(-37)(-42)$. Произведение двух отрицательных и одного положительного числа положительно. Знак «+».

4. В интервале $(-\infty; -48)$ выберем $x=-50$: $(-50+48)(-50-37)(-50-42) = (-2)(-87)(-92)$. Произведение трех отрицательных чисел отрицательно. Знак «-».

По условию задачи, произведение должно быть положительным. Это соответствует интервалам, где мы получили знак «+».

Ответ: $x \in (-48; 37) \cup (42; +\infty)$

б) Чтобы найти значения $x$, при которых произведение $(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2)$ отрицательно, необходимо решить неравенство:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) < 0$

Используем метод интервалов. Найдем корни уравнения:

$(x + 0,7)(x - 2,8)(x - 9,2) = 0$

Корнями являются:

$x + 0,7 = 0 \Rightarrow x_1 = -0,7$

$x - 2,8 = 0 \Rightarrow x_2 = 2,8$

$x - 9,2 = 0 \Rightarrow x_3 = 9,2$

Эти точки ($-0,7; 2,8; 9,2$) разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -0,7)$, $(-0,7; 2,8)$, $(2,8; 9,2)$ и $(9,2; +\infty)$.

Определим знак произведения в каждом интервале:

1. В интервале $(9,2; +\infty)$ выберем $x=10$: $(10+0,7)(10-2,8)(10-9,2) = (10,7)(7,2)(0,8) > 0$. Знак «+».

2. В интервале $(2,8; 9,2)$ выберем $x=3$: $(3+0,7)(3-2,8)(3-9,2) = (3,7)(0,2)(-6,2) < 0$. Знак «-».

3. В интервале $(-0,7; 2,8)$ выберем $x=0$: $(0+0,7)(0-2,8)(0-9,2) = (0,7)(-2,8)(-9,2) > 0$. Знак «+».

4. В интервале $(-\infty; -0,7)$ выберем $x=-1$: $(-1+0,7)(-1-2,8)(-1-9,2) = (-0,3)(-3,8)(-10,2) < 0$. Знак «-».

По условию задачи, произведение должно быть отрицательным. Это соответствует интервалам, где мы получили знак «-».

Ответ: $x \in (-\infty; -0,7) \cup (2,8; 9,2)$