Номер 289, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

289. Решите неравенство:

а)

Для решения неравенства $(x + 9)(x - 2)(x - 15) < 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x + 9)(x - 2)(x - 15) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x + 9 = 0 \Rightarrow x_1 = -9$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x - 15 = 0 \Rightarrow x_3 = 15$

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 2)$, $(2; 15)$ и $(15; +\infty)$. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки на оси будут выколотыми.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 20$:

$(20 + 9)(20 - 2)(20 - 15) = 29 \cdot 18 \cdot 5 > 0$. Значит, в интервале $(15; +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться при переходе через корень. Двигаясь справа налево, получаем следующую расстановку знаков:

на интервале $(15; +\infty)$ знак «$+$»
на интервале $(2; 15)$ знак «$-$»
на интервале $(-9; 2)$ знак «$+$»
на интервале $(-\infty; -9)$ знак «$-$»

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак «минус». Это интервалы $(-\infty; -9)$ и $(2; 15)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (2; 15)$.

б)

Решим неравенство $x(x - 5)(x + 6) > 0$ методом интервалов. Найдем корни уравнения:

$x(x - 5)(x + 6) = 0$

Корни уравнения, расположенные в порядке возрастания:

$x_1 = -6$

$x_2 = 0$

$x_3 = 5$

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$. Неравенство строгое ($> 0$), поэтому точки выколотые.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв пробную точку, например, $x = 10$:

$10(10 - 5)(10 + 6) = 10 \cdot 5 \cdot 16 > 0$. В интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно.

Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знаки чередуются. Расстановка знаков:

на интервале $(5; +\infty)$ знак «$+$»
на интервале $(0; 5)$ знак «$-$»
на интервале $(-6; 0)$ знак «$+$»
на интервале $(-\infty; -6)$ знак «$-$»

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «плюс»). Это интервалы $(-6; 0)$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; 0) \cup (5; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $(x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16) < 0$ методом интервалов. Сначала найдем нули функции $f(x) = (x - 1)(x - 4)(x - 8)(x - 16)$, решив уравнение $f(x) = 0$.

Корни уравнения в порядке возрастания:

$x_1 = 1$

$x_2 = 4$

$x_3 = 8$

$x_4 = 16$

Отметим эти корни на числовой оси. Они разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$, $(4; 8)$, $(8; 16)$ и $(16; +\infty)$. Точки выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x = 20$:

$(20 - 1)(20 - 4)(20 - 8)(20 - 16) = 19 \cdot 16 \cdot 12 \cdot 4 > 0$. В интервале $(16; +\infty)$ выражение положительно.

Поскольку все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах чередуются:

на интервале $(16; +\infty)$ знак «$+$»
на интервале $(8; 16)$ знак «$-$»
на интервале $(4; 8)$ знак «$+$»
на интервале $(1; 4)$ знак «$-$»
на интервале $(-\infty; 1)$ знак «$+$»

Мы ищем интервалы, где выражение меньше нуля (знак «минус»). Это интервалы $(1; 4)$ и $(8; 16)$.

Ответ: $x \in (1; 4) \cup (8; 16)$.