Номер 287, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 17. Решение неравенств методом интервалов - номер 287, страница 97.

Условие.

287. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Для решения неравенства $(x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0$ воспользуемся методом интервалов.
1. Найдём корни левой части неравенства, приравняв её к нулю:
$(x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 2$, $x_2 = 5$, $x_3 = 12$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$, $(5; 12)$ и $(12; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмём пробную точку из любого интервала. Удобнее всего взять точку из крайнего правого интервала, например, $x = 13$.
При $x = 13$: $(13 - 2)(13 - 5)(13 - 12) = 11 \cdot 8 \cdot 1 > 0$.
Так как все корни имеют нечётную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.
Расставим знаки на интервалах, двигаясь справа налево:
$(12; +\infty)$: +
$(5; 12)$: -
$(2; 5)$: +
$(-\infty; 2)$: -
4. Поскольку знак неравенства ">", нас интересуют интервалы со знаком "+".
Решением являются интервалы $(2; 5)$ и $(12; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $(x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0$.
Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; -1)$, $(-1; 4)$ и $(4; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв, например, $x = 5$.
При $x = 5$: $(5 + 7)(5 + 1)(5 - 4) = 12 \cdot 6 \cdot 1 > 0$.
Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются.
Расставим знаки на интервалах:
$(4; +\infty)$: +
$(-1; 4)$: -
$(-7; -1)$: +
$(-\infty; -7)$: -
4. Знак неравенства "<", поэтому выбираем интервалы со знаком "-".
Решением являются интервалы $(-\infty; -7)$ и $(-1; 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)$.

в) Решим неравенство $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0$ методом интервалов.
1. Найдём корни уравнения $x(x + 1)(x + 5)(x - 8) = 0$.
Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 8$.
2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на пять интервалов: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 8)$ и $(8; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв $x = 10$.
При $x = 10$: $10(10 + 1)(10 + 5)(10 - 8) = 10 \cdot 11 \cdot 15 \cdot 2 > 0$.
Все корни имеют кратность 1, знаки чередуются.
Расставим знаки на интервалах:
$(8; +\infty)$: +
$(0; 8)$: -
$(-1; 0)$: +
$(-5; -1)$: -
$(-\infty; -5)$: +
4. Знак неравенства ">", поэтому выбираем интервалы со знаком "+".
Решением являются интервалы $(-\infty; -5)$, $(-1; 0)$ и $(8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)$.